Résoudre une équation du type e^u(x)=k en utilisant la fonction logarithme Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

e^{-2x^2-2x} =7e

S =\varnothing

S=\left\{ \dfrac{-1-\sqrt{3+2ln7}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{3+2ln7}}{2} \right\}

S=\left\{ \dfrac{-1+\sqrt{3+2ln7}}{2} \right\}

S=\left\{ -1-\sqrt{15};-1+\sqrt{15} \right\}

e^{-2x^2-2x} =7e

\Leftrightarrow \ln \left(e^{-2x^2-2x}\right) =\ln\left(7e\right)

\Leftrightarrow -2x^2-2x=\ln\left(7\right)+\ln\left(e\right)

\Leftrightarrow -2x^2-2x= \ln\left(7\right)+1

\Leftrightarrow -2x^2-2x-1-\ln\left(7\right)=0

On calcule le discriminant pour résoudre cette équation du second degré :

\Delta=\left(-2\right)^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-1-\ln\left(7\right)\right)=4+8\left(-1-\ln\left(7\right)\right)=-4-8\ln\left(7\right)

\Delta<0 donc l'équation n'admet aucune solution réelle.

S =\varnothing

Quelles sont les solutions de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

e^{-6x+3} = 8

S = \left\{ -\dfrac{8+\ln\left(3\right)}{6}\right\}

S = \left\{ \dfrac{3+\ln\left(8\right)}{6}\right\}

S = \left\{ \dfrac{6}{7}\right\}

S = \left\{ \dfrac{3-\ln\left(8\right)}{6}\right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

e^{x-7} = 2

S =\left\{ 7-\ln\left(2\right) \right\}

S =\left\{ 5 \right\}

S = \left\{ \ln\left(2\right)-7 \right\}

S =\left\{ 7+\ln\left(2\right) \right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

e^{-x^2-3x} = 2

S =\left\{ -\dfrac{3+\sqrt{9-4\ln\left(2\right)}}{2}; -\dfrac{3-\sqrt{9-4\ln\left(2\right)}}{2}\right\}

S =\left\{ 2;3 \right\}

S = \varnothing

S =\left\{ \dfrac{3+\sqrt{9-4\ln\left(2\right)}}{2}; \dfrac{3-\sqrt{9-4\ln\left(2\right)}}{2}\right\}

Quelles sont les solutions de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

e^{2-x^2} = 4e

S =\left\{ \dfrac{1+\sqrt{2-4\ln\left(2\right)}}{2}; \dfrac{1-\sqrt{2-4\ln\left(2\right)}}{2}\right\}

S =\left\{ -\dfrac{1+\sqrt{2-4\ln\left(2\right)}}{2}; -\dfrac{1-\sqrt{2-4\ln\left(2\right)}}{2}\right\}

S =\left\{ -12;7 \right\}

S = \varnothing

Quelles sont les solutions de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

e^{3x^2} = 5

S =\varnothing

S =\left\{ \sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)}{3}};-\sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)}{3}} \right\}

S = \left\{ 6;7 \right\}

S =\left\{ \sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)}{5}};-\sqrt{\dfrac{\ln\left(5\right)}{3}} \right\}