Dans les cas suivants, résoudre l'équation trigonométrique.
Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :
\sin\left(10x+12\right)= \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}-x\right)= \sin\left(-x\right).
L'équation \sin\left(10x+12\right)= \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) devient ainsi :
\sin\left(10x+12\right)= \sin \left(-x\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =10x+12 et b =-x, on obtient :
\sin\left(10x+12\right)= \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
\Leftrightarrow\begin{cases} 10x+12 =-x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 10x+12=\pi +x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 11x=-12+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 9x=\pi -12+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\dfrac{12}{11}+k\dfrac{2\pi}{11}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi -12}{9}+k\dfrac{2\pi}{9}, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S = \left\{-\dfrac{12}{11}+k\dfrac{2\pi}{11} ; -\dfrac{\pi-12}{9}+k\dfrac{2\pi}{9}\right\}.
Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?
\sin\left( x\right) =\cos \left(2x\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \sin\left(x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).
L'équation \sin\left( x\right) =\cos \left(2x\right) devient ainsi :
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)= \cos\left(2x\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) =\cos\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =\dfrac{\pi}{2}-x et b =2x, on obtient :
\sin\left(x\right)= \cos \left(2x\right)
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-x =2x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr \dfrac{\pi}{2}-x=-2x + k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -3x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{6}-k\dfrac{2\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{-\pi }{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S = \left\{\dfrac{\pi}{6}-k\dfrac{2\pi}{3}; -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \right\}.
Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?
\sin\left( x-\dfrac{\pi}{3}\right) =\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(x-\dfrac{\pi}{3})\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}-x\right).
L'équation \sin\left( x-\dfrac{\pi}{3}\right) =\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right) devient ainsi :
\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}-x\right)= \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) =\cos\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =\dfrac{5\pi}{6}-x et b =2x+\dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\sin\left( x-\dfrac{\pi}{3}\right) =\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{5\pi}{6}-x =2x+\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr \dfrac{5\pi}{6}-x=-2x-\dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -3x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{6}-k\dfrac{2\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{7\pi }{6}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S = \left\{ -\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{\pi}{6}-k\dfrac{2\pi}{3} \right\}.
Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?
\cos \left(2x\right) - \sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right) =0
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(2x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(\dfrac{\pi}{2}-2x)\right)= \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right).
L'équation \cos \left(2x\right) - \sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right) =0 devient ainsi :
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)= \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =\dfrac{\pi}{2}-2x et b =\dfrac{\pi}{6}, on obtient :
\cos \left(2x\right) - \sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right) =0
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-2x =\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr \dfrac{\pi}{2}-2x =\pi -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -2x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr -2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{6}-k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=-\dfrac{\pi }{6}-k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}-k\pi; \dfrac{\pi}{6}-k\pi\right\}.
Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?
\sin \left(x+2\right) = \cos \left(x+1\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \sin\left(x+2\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(x+2)\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x-2\right).
L'équation \sin \left(x+2\right) = \cos \left(x+1\right) devient ainsi :
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x-2\right)= \cos\left(x+1\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) =\cos\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =\dfrac{\pi}{2}-x-2 et b =x+1, on obtient :
\sin \left(x+2\right) = \cos \left(x+1\right)
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-x-2 =x+1+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr \dfrac{\pi}{2}-x-2=-x-1 + k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow-2x=-\dfrac{\pi}{2}+3+k2\pi, k\in \mathbb{Z}
(on remarque que dans l'équation du bas, les x s'annulent et que l'on peut donc ne pas tenir compte de cette équation)
\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}-k\pi, k\in \mathbb{Z}
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S = \left\{ -\dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}-k\pi\right\}.
Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?
\sin \left(3x\right) = \cos \left(x+1\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(x+1\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(\dfrac{\pi}{2}-x-1)\right)= \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x-1\right).
L'équation \sin \left(3x\right) = \cos \left(x+1\right) devient ainsi :
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x-1\right)= \sin \left(3x\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =\dfrac{\pi}{2}-x-1 et b = 3x, on obtient :
\sin \left(3x\right) = \cos \left(x+1\right)
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-x-1 =3x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr \dfrac{\pi}{2}-x-1 =\pi -3x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -4x=-\dfrac{\pi}{2}+1+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr -2x=-\dfrac{\pi}{2}-1+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}-k\dfrac{\pi}{2}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{1}{2}-k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S = \left\{ \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}-k\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{4}-k\pi\right\}.