Résoudre une inéquation trigonométrique du type sin(ax+b)y Exercice

On sait que :
-\dfrac{1}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right)

Une autre manière d'écrire \dfrac{-\pi}{6} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{11\pi}{6}.

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On obtient ainsi l'ensemble des points du cercle trigonométrique tels que \sin \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) \lt -\dfrac{1}{2}.

Soit k \in \mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \lt 2x - \dfrac{\pi}{6} \lt \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \\\Leftrightarrow \dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \lt 2x \lt \dfrac{11\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{8\pi}{6} + 2k\pi \lt 2x \lt \dfrac{12\pi}{6} + 2k\pi \\\\\Leftrightarrow \dfrac{8\pi}{12} + k\pi \lt x \lt \dfrac{12\pi}{12} + k\pi \\\\\Leftrightarrow \dfrac{2\pi}{3} + k\pi \lt x \lt \pi + k\pi \\

Pour k=0, on a :
\dfrac{2\pi}{3} \lt x \lt \pi

Pour k=1, on a :
\dfrac{5\pi}{3} \lt x \lt 2\pi

Pour résoudre l'inéquation, on place ces points sur le cercle trigonométrique.

On sait que :
-\dfrac{\sqrt 2}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)

On sait également que -\dfrac{\pi}{4} et \dfrac{7\pi}{4} représentent le même angle.

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On obtient ainsi l'ensemble des points du cercle trigonométrique tels que \sin \left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right) \leq -\dfrac{\sqrt 2}{2}.

Soit k \in \mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \leqslant 2x - \dfrac{\pi}{2} \leqslant \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi\\\Leftrightarrow \dfrac{5\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant \dfrac{9\pi}{4} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow \dfrac{7\pi}{8} + k\pi \leqslant x \leqslant \dfrac{9\pi}{8} + k\pi\\

Pour k = 0, on a :
\dfrac{7\pi}{8} \leqslant x \leqslant \dfrac{9\pi}{8}

Pour k = 1, on a :
\dfrac{15\pi}{8} \leqslant x \leqslant \dfrac{17\pi}{8}

Une autre manière d'écrire \dfrac{17\pi}{8} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{\pi}{8}.

Afin de déterminer les solutions sur \left[ 0; 2\pi \right], on place ces points sur le cercle trigonométrique.

On sait que :
-\dfrac{\sqrt 3}{2}= \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\pi -\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right) =\sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On obtient ainsi l'ensemble des points du cercle trigonométrique tels que \sin \left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) \gt -\dfrac{\sqrt 3}{2}.

Soit k\in\mathbb{Z}.
On a :
\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \gt 2x + \dfrac{\pi}{4} \gt \dfrac{-\pi}{3} + 2k\pi\\\Leftrightarrow\dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \gt 2x \gt \dfrac{-\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\\Leftrightarrow\dfrac{13\pi}{12} + 2k\pi \gt 2x \gt \dfrac{-7\pi}{12} + 2k\pi\\\Leftrightarrow\dfrac{13\pi}{24} + k\pi \gt x \gt \dfrac{-7\pi}{24} + k\pi\\

Pour k=0, on a :
\dfrac{13\pi}{24} \gt x \gt \dfrac{-7\pi}{24}

Une autre manière d'écrire \dfrac{-7\pi}{24} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{41\pi}{24}.

Pour k=1, on a :
\dfrac{37\pi}{24} \gt x \gt \dfrac{17\pi}{24}

Pour résoudre l'inéquation, on place ces points sur le cercle trigonométrique.

On sait que :
\dfrac{\sqrt3 }{2} = \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) =\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)

Une autre manière d'écrire \dfrac{2\pi}{3} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{-4\pi}{3}.

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On obtient ainsi l'ensemble des points qui correspondent aux réels x tels que \sin \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) \leq \dfrac{\sqrt 3 }{2}.

Soit k \in \mathbb{Z}.
On a : 
\dfrac{-4\pi}{3} + 2k\pi \leqslant 2x - \dfrac{\pi}{6} \leqslant \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\\\Leftrightarrow\dfrac{-4\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow\dfrac{-7\pi}{6} + 2k\pi \leqslant 2x \leqslant \dfrac{3\pi}{6} + 2k\pi\\\\\Leftrightarrow\dfrac{-7\pi}{12} + k\pi \leqslant x \leqslant \dfrac{3\pi}{12} + k\pi\\\\\\\Leftrightarrow\dfrac{-7\pi}{12} + k\pi \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4} + k\pi\\\\

Pour k=0, on a :
\dfrac{-7\pi}{12}\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}

Une autre manière d'écrire \dfrac{-7\pi}{12} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{17\pi}{12}.

Pour k=1, on a :
\dfrac{5\pi}{12}\leqslant x \leqslant \dfrac{5\pi}{4}

Pour résoudre l'inéquation, on place ces points sur le cercle trigonométrique.

On sait que 0= \sin \left(0\right) = \sin \left(\pi -0\right) =\sin \left(\pi\right).

Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on trace le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :

On obtient ainsi l'ensemble des points du cercle trigonométrique tels que \sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) \geq 0.

Soit k\in\mathbb{Z}, on a :
\pi + 2k\pi \geqslant 2x + \dfrac{\pi}{3} \geqslant 0 +2k\pi\\\Leftrightarrow\pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \geqslant 2x \geqslant 0 - \dfrac{\pi}{3} +2k\pi\\\\\Leftrightarrow\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \geqslant 2x \geqslant - \dfrac{\pi}{3} +2k\pi\\\\\Leftrightarrow\dfrac{2\pi}{6} + k\pi \geqslant x \geqslant - \dfrac{\pi}{6} +k\pi\\\\\\\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3} + k\pi \geqslant x \geqslant - \dfrac{\pi}{6} +k\pi\\\\

Pour k=0, on a :
\dfrac{\pi}{3} \geqslant x \geqslant \dfrac{-\pi}{6}

Une autre manière d'écrire \dfrac{-\pi}{6} sur le cercle trigonométrique est \dfrac{11\pi}{6}.

Pour k=1, on a :
\dfrac{4\pi}{3} \geqslant x \geqslant \dfrac{5\pi}{6}

Pour résoudre l'inéquation, on place ces points sur le cercle trigonométrique :