Soit f la fonction définie sur D = [0 ; 2\pi] par :
\forall x \in D, f(x) = 3x\text{cos}(x) - 3\text{sin}(x)
On cherche le minimum de f.
Quelle est la dérivée f' de f ?
On a :
\forall x \in I, f(x) = 3x\text{cos}(x) - 3\text{sin}(x)
f est donc dérivable sur I comme multiplication et addition de fonction dérivable sur I.
Pour dériver le terme 3x\text{cos}(x) on utilise la formule de dérivation d'un produit :
(uv)' = u'v+uv'
Ainsi :
f'(x) = 3\text{cos}(x) -3x \text{sin}(x) -3\text{cos}(x)
Donc :
\forall x \in I, f'(x) = -3x\text{sin}(x)
Quel est le tableau de variations de f ?
Afin de déterminer le tableau de variations de f, il faut déterminer le tableau de signes de la dérivée f'.
On a montré que :
\forall x \in I, f'(x) = -3x\text{sin}(x)
On en déduit ainsi les variations de f.
De plus on a :
f(0) = 0
f(\pi) = -3\pi
f(2\pi) = 6\pi
On obtient ainsi le tableau de variations de f.
Quel est le minimum m de f sur I ?
Dans la question précédente, on a dressé le tableau de variations de f sur I.
On voit que f est décroissante jusqu'à x= \pi puis croissante.
Donc f admet un minimum sur I pour x= \pi, et f(\pi) = -3 \pi.
Le minimum m de f sur I est donc :
m = -3 \pi