Soit f la fonction définie par :
f(x) = \text{sin}(\sqrt{x})
On cherche à étudier le signe de la fonction f sur l'intervalle I = [0;50].
Quel est l'ensemble D de définition de la fonction f ?
f est définie par :
f(x) = \text{sin}(\sqrt{x})
La fonction f est donc la composée de la fonction racine carrée par la fonction sinus.
La fonction racine carrée est définie de \mathbb{R}^+ vers \mathbb{R}^+ et la fonction sinus est définie sur \mathbb{R}.
Donc f est définie sur \mathbb{R}^+ .
Ainsi :
D = \mathbb{R}^+
Quel est l'ensemble S des solutions sur I de l'équation f(x) = 0 ?
On souhaite résoudre l'équation :
sin(\sqrt{x}) = 0 sur l'intervalle I
On remarque que :
sin(0) = 0
Donc 0 \in S et :
sin(\sqrt{x}) = 0 \Leftrightarrow sin(\sqrt{x}) = sin(0)
Donc :
sin(\sqrt{x}) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x} = 0+2k\pi \space \text{avec} \space k \in \mathbb{Z} \cr \cr \text{ou} \space \sqrt{x} = \pi -0+2k\pi \space \text{avec} \space k \in \mathbb{Z} \end{cases}
sin(\sqrt{x}) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x} = 2k\pi \space \text{avec} \space k \in \mathbb{Z} \cr \cr \text{ou} \space \sqrt{x} = (2k+1)\pi \space \text{avec} \space k \in \mathbb{Z} \end{cases}
sin(\sqrt{x}) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = k\pi \space \text{avec} \space k \in \mathbb{Z}
Dans le cas présent, k est forcément positif car \sqrt{x} ne peut pas être négatif.
sin(\sqrt{x}) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = k\pi \space \text{avec} \space k \in \mathbb{N}
On élève l'équation au carré :
sin(\sqrt{x}) = 0 \Leftrightarrow x = k^2\pi^2 \space \text{avec} \space k \in \mathbb{N}
Or, on cherche les solutions dans I = [0;50].
- Pour k = 0 :
x = 0 \in S
- Pour k = 1 :
x = \pi^2 \approx 9{,}9
Donc \pi^2 \in S.
- Pour k = 2 :
x = 4\pi^2 \approx 39
Donc 4\pi^2 \in S.
- Pour k = 3 :
x = 9\pi^2 \approx 89
Donc 4\pi^2 \notin S.
Ainsi :
S = \{0; \pi^2; 4\pi^2\}
Quel est le signe de la fonction f sur l'ensemble I ?
Grâce à la question précédente, on sait que le tableau de signe de f sur I sera de la forme :
Afin de le compléter, il suffit de tester le signe pour des valeurs particulière de x.
- Signe de f(x) pour x \in [0; \pi^2]
\pi \in [0; \pi^2]
Or, on sait que \sqrt{\pi} \leqslant \pi .
Or, la fonction sinus est positive sur [0;\pi].
Donc f(x) est positive pour x \in [0; \pi^2]
- Signe de f(x) pour x \in [\pi^2;4\pi^2]
2\pi^2 \in [\pi^2; 4\pi^2]
Or, on sait que \pi \leqslant \sqrt{2\pi^2} \leqslant 2\pi .
Or, la fonction sinus est négative sur [pi;2\pi]
Donc f(x) est négative pour x \in [\pi^2;4\pi^2].
- Signe de f(x) pour x \in [4\pi^2;50]
5\pi^2 \in [4\pi^2;50]
Or, \sqrt{4} \leqslant \sqrt{5} \leqslant \sqrt{9} .
Donc :
2 \leqslant \sqrt{5} \leqslant 3
Donc :
2\pi \leqslant \sqrt{5\pi^2} \leqslant 3\pi
Or, la fonction sinus est positive sur [2\pi;3\pi].
Donc f(x) est positive pour x \in [4\pi^2;50].
Ainsi :
