On étudie dans cet exercice la fonction f définie sur \mathbb{R} définie par f(x)=\cos(x)(1+\sin(x)).
Que peut-on dire de la périodicité et de la parité de la fonction f ?
Périodicité :
La fonction f est définie en tant que somme et produits des fonctions trigonométriques x \mapsto \cos(x) et x \mapsto \sin(x) .
Or d'après le cours ces deux fonctions sont 2\pi-périodiques. Vérifions si f est 2\pi-périodique :
Soit x \in \mathbb{R} :
x+2\pi \in \mathbb{R} et f(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)(1+\sin(x+2\pi))=\cos(x)(1+\sin(x)) = f(x) car les fonctions \cos et \sin sont 2\pi-périodiques.
Ainsi f est 2\pi-périodique.
Parité :
Les deux définitions connues sur la parité sont :
- f est paire sur son ensemble de définition si pour tout x de cet ensemble : -x appartient à l'ensemble de définition et f(x)=f(-x).
- f est impaire sur son ensemble de définition si pour tout x de cet ensemble : -x appartient à l'ensemble de définition et f(x)=-f(-x).
Soit x\in\mathbb{R}.
On exprime donc f(-x) :
f(-x)=\cos(-x)(1+\sin(-x))=\cos(x)(1-\sin(x)) car \cos(-x)=\cos(x) et \sin(-x)=-\sin(x)
Or :
- \cos(x)(1-\sin(x)) \neq f(x)
- \cos(x)(1-\sin(x)) \neq -f(-x)
f est donc 2\pi-périodique et n'est ni paire ni impaire.
Comment justifier que f est dérivable et calculer f'(x) ?
Les fonctions \cos et \sin sont dérivables sur \mathbb{R}.
f est définie en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}. Donc f est dérivable sur \mathbb{R}.
f est un produit des fonctions :
- u(x) = \cos(x)
- v(x) = 1+\sin(x)
Les dérivées de ces fonctions sont :
- u'(x)=-\sin(x)
- v'(x)=\cos(x)
Finalement :
f'(x) = (uv)'(x)=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)=-\sin(x)(1+\sin(x))+\cos(x)\cos(x) = -\sin(x)-\sin^2(x)+\cos^2(x)
D'après le cours :
\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \Leftrightarrow \cos^2(x)=1-\sin^2(x)
En remplaçant dans l'expression de f' :
f'(x) = -\sin(x) -\sin^2(x)+1-\sin^2(x) = 1-\sin(x)-2\sin^2(x)=(1+\sin(x))(1-2\sin(x))
Pour tout x\in \mathbb{R} :
f'(x) =(1+\sin(x))(1-2\sin(x))
Quel est le signe de f' sur ]-\pi;\pi] ?
f' est un produit de deux fonctions. On étudie le signe de ces fonctions.
Étude de 1+\sin(x) :
D'après le cours, sur \mathbb{R}, \sin(x)\leq1.
Donc en particulier sur [-\pi;\pi] :
\sin(x)+1>0
Étude de 1-2\sin(x) :
Soit un réel x\in ]-\pi,\pi].
1-2\sin(x)\geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq 2\sin(x) \Leftrightarrow \sin(x)\leq \dfrac{1}{2}.
Or sur ]-\pi;\pi], on obtient grâce au cercle trigonométrique :
\sin(x)\leq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -\pi< x\leq \dfrac{\pi}{6} ou \dfrac{5\pi}{6}\leq x\leq \pi
En rassemblant les informations, on obtient finalement :
- f' est positive sur \left]-\pi;\dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{6};\pi\right] .
- f' est négative sur \left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right].
Comment en déduire que f admet un minimum sur [-\pi;\pi] et quelle est sa valeur ?
On rappelle que :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
D'après la question précédente, on obtient le tableau de variations suivant pour f :
On en déduit donc que la fonction f admet un minimum sur ]-\pi;\pi] atteint en \dfrac{5\pi}{6} qui vaut f\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{-3\sqrt{3}}{4}.