Les fonctions trigonométriquesCours

I

Les fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont essentielles pour décrire de nombreux phénomènes physiques. Ces courbes sont très particulières et souvent connues du grand public.

Sinus et cosinus d'un réel

Soient un réel x et M l'image de x sur le cercle trigonométrique.

  • Le cosinus de x, noté \cos(x), est l'abscisse du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
  • Le sinus de x, noté \sin(x), est l'ordonnée du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
définition sinus et cosinus d'un réel

Le point du cercle trigonométrique image du réel \dfrac{\pi}{2} est le point B.

Ses coordonnées sont (0;1) dans le repère \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).

Donc \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.

Fonction sinus

On appelle fonction sinus, notée \text{sin}, la fonction qui à chaque réel x associe le réel \sin(x).

L'ensemble de définition de la fonction sinus est \mathbb{R}. Pour tout réel x, -x\in\mathbb{R} et \sin(-x)=-\sin(x).

Ainsi la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

propriétés fonction sinus

Pour tout réel x :

  • x+2\pi\in\mathbb{R}
  • \sin(x+2\pi)=\sin(x)

 

La fonction sinus est périodique de période 2\pi.

\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi

Donc \sin\left(\dfrac{9\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right).

Fonction cosinus

On appelle fonction cosinus, notée \text{cos}, la fonction qui à chaque réel x associe le réel \cos(x).

L'ensemble de définition de la fonction cosinus est \mathbb{R}. Pour tout réel x, -x\in\mathbb{R} et \cos(-x)=\cos(x).

Ainsi la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

propriétés fonction cosinus

Pour tout réel x :

  • x+2\pi\in\mathbb{R}
  • \cos(x+2\pi)=\cos(x)

 

La fonction cosinus est périodique de période 2\pi.

\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi

Donc \cos\left(\dfrac{9\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right).

II

La dérivabilité et les variations des fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R}. Leurs variations permettent de retrouver les propriétés de leurs courbes représentatives.

La fonction sinus est dérivable sur \mathbb{R}.

Pour tout réel x, on a :

\sin'(x)=\cos(x)

\sin'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)

\sin'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0

Variations de la fonction sinus

Le tableau de variations de la fonction sinus sur l'intervalle [0;\pi] est le suivant :

variation de la fonction sinus

Comme la fonction sinus est impaire, on obtient le tableau de variations suivant sur l'intervalle [-\pi;\pi] :

-

Comme la fonction sinus est 2\pi-périodique, le tableau de variations de cette fonction sur un intervalle du type [-\pi+2k\pi;\pi+2k\pi] avec k\in\mathbb{Z} est le même que le précédent.

Le tableau de variations de la fonction sinus sur l'intervalle [\pi;3\pi] est le suivant :

-

La fonction cosinus est dérivable sur \mathbb{R}.

Pour tout réel x, on a :

\cos'(x)=-\sin(x)

\cos'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)

\cos'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-1

Variations de la fonction cosinus

Le tableau de variations de la fonction cosinus sur l'intervalle [0;\pi] est le suivant :

-

Comme la fonction cosinus est paire, on obtient le tableau de variations suivant sur l'intervalle [-\pi;\pi] :

-

Comme la fonction cosinus est 2\pi-périodique, le tableau de variations de cette fonction sur un intervalle du type [-\pi+2k\pi;\pi+2k\pi] avec k\in\mathbb{Z} est le même que le précédent.

Le tableau de variations de la fonction cosinus sur l'intervalle [\pi;3\pi] est le suivant :

-

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

  • La fonction \sin(u) est dérivable sur I de dérivée u'\times \cos(u).
  • La fonction \cos(u) est dérivable sur I de dérivée -u'\times \sin(u).

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\cos\left(x^2\right).

f=\cos(u) avec u(x)=x^2

La fonction u est dérivable sur \mathbb{R} de dérivée u':x\mapsto 2x.

Donc la fonction f est dérivable sur \mathbb{R} de dérivée f'=-u'\times \sin(u).

Pour tout réel x, on a donc :
f'(x)=−2x\sin\left(x^2\right)

  • Les fonctions sinus et cosinus n'admettent pas de limites en -\infty et +\infty.
  • \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1
  • \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}=0
III

Les équations et inéquations trigonométriques

Lors de la résolution d'équations et d'inéquations comportant les fonctions sinus et cosinus, il est important de connaître les définitions de ces fonctions ainsi que leurs propriétés liées au cercle trigonométrique.

Soient deux réels x et y.

Alors on a :

\cos(x)=\cos(y)\Leftrightarrow \begin{cases}x=y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x=-y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

On cherche à résoudre l'équation \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) sur [-\pi;\pi].

Soit un réel x.

\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) sur [-\pi;\pi] est :
\left\{\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right\}

Soit un réel a.

  • Si a\in ]-\infty;−1[\cup ]1;+\infty[, l'équation \cos(x)=a n'admet aucune solution.
  • Si a\in [−1;1], l'équation \cos(x)=a admet pour ensemble de solutions :

\left\{y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}

y est un réel tel que \cos(y)=a.

On cherche à résoudre l'équation \cos(x)=\dfrac{1}{2} sur [-\pi;\pi].

\dfrac{1}{2}\in [-1;1]

L'équation admet donc des solutions dans \mathbb{R}.

Soit un réel x.

Comme \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, on a :
\cos(x)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\cos(x)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

L'ensemble des solutions dans [-\pi;\pi] de l'équation \cos(x)=\dfrac{1}{2} est :
\left\{\dfrac{-\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right\}

Soit un réel a.

  • Si a\in ]-\infty;−1[\cup ]1;+\infty[, l'équation \cos(x)=a n'admet aucune solution.
  • Si a\in [−1;1], l'équation \cos(x)=a admet pour ensemble de solutions :

\left\{y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}

y est un réel tel que \cos(y)=a.

Si le réel a ne correspond pas à une des valeurs à connaître du cosinus, on utilise une valeur approchée d'un réel y tel que \cos(y)=a.

On cherche à résoudre l'équation \cos(x)=0{,}6 dans [\pi;\pi].

0,6 n'est pas une des valeurs connues du cosinus.

La calculatrice donne :

Avec y\approx 0{,}927, on a \cos(y)\approx 0{,}6.

On va donc chercher des valeurs approchées des solutions de l'équation \cos(x)=0{,}6.

Soit un réel x.

\cos(x)=0{,}6\Leftrightarrow \cos(x)\approx \cos(0{,}927)
\cos(x)=0{,}6\Leftrightarrow\begin{cases}x\approx 0{,}927+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x\approx -0{,}927+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

L'ensemble des solutions dans [-\pi;\pi] de l'équation \cos(x)=0{,}6 est :
\left\{-0{,}927;0{,}927\right\}
les valeurs étant arrondies à 10^{−3}.

Soient deux réels x et y.

Alors on a :

\sin(x)=\sin(y)\Leftrightarrow \begin{cases}x=y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x=\pi-y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

On cherche à résoudre l'équation \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) sur [-\pi;\pi].

Soit un réel x.

\sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

L'ensemble des solutions de l'équation \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) sur [-\pi;\pi] est :
\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right\}

Soit un réel a.

  • Si a\in ]-\infty;−1[\cup ]1;+\infty[, l'équation \sin(x)=a n'admet aucune solution.
  • Si a\in [−1;1], l'équation \sin(x)=a admet pour ensemble de solutions :

\left\{y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi-y+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}

y est un réel tel que \sin(y)=a.

On cherche à résoudre l'équation \sin(x)=\dfrac{1}{2} sur [-\pi;\pi].

\dfrac{1}{2}\in [-1;1]
L'équation admet donc des solutions dans \mathbb{R}.

Soit un réel x.

Comme \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, on a :
\sin(x)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
\sin(x)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\\\text{ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}

L'ensemble des solutions dans [-\pi;\pi] de l'équation \sin(x)=\dfrac{1}{2} est :
\left\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right\}

Si le réel a ne correspond pas à une des valeurs à connaître du sinus, on utilise une valeur approchée d'un réel y tel que \sin(y)=a.

Soit un réel a.

Soit \mathcal{S} l'ensemble des solutions dans [-\pi;\pi] de l'inéquation \cos(x)\leq a.

  • Si a<−1, \mathcal{S}=\varnothing.
  • Si a=−1, \mathcal{S}=\{-\pi;\pi\}.
  • Si −1<a<1\mathcal{S}=[-\pi;-y]\cup[y;\pi]y\in]0;\pi[ tel que \cos(y)=a.
  • Si a\geq 1, \mathcal{S}=[-\pi;\pi].

On cherche à résoudre, dans [-\pi;\pi], l'inéquation \cos(x)\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

\dfrac{\sqrt{3}}{2}\in ]-1;1[ et \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} avec \dfrac{\pi}{6}\in ]0;\pi[.

Donc l'ensemble des solutions dans [-\pi;\pi] de l'inéquation \cos(x)\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2} est :
\left[-\pi;\dfrac{-\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{6};\pi\right]