La trigonométrieFormulaire

Lignes trigonométriques des angles remarquables

x (radians) 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi \dfrac{3\pi}{2} 2\pi
x (degrés) 0 30 45 60 90 180 270 360
cos(x) 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0 −1 0 1
sin(x) 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1 0 −1 0

Somme des carrés d'un cosinus et sinus

Pour tout réel x : sin^{2}x+cos^{2}x=1

Pour tout réel x :

-1\leq \cos\left(x\right) \leq 1

-1\leq \sin\left(x\right) \leq 1

Formules des angles associés

Pour tout réel x :

  • \cos\left(- x\right) = \cos\left(x\right)
  • \cos\left(\pi - x\right) = - \cos\left(x\right)
  • \cos\left(\pi + x\right) = - \cos\left(x\right)
  • \sin\left(- x\right) = - \sin\left(x\right)
  • \sin\left(\pi - x\right) = \sin\left(x\right)
  • \sin\left(\pi + x\right) = - \sin\left(x\right)
  • \cos\left(\dfrac{\pi }{2} - x\right) = \sin\left(x\right)
  • \sin\left(\dfrac{\pi }{2} - x\right) = \cos\left(x\right)
  • \cos\left(\dfrac{\pi }{2} + x\right) = -\sin\left(x\right)
  • \sin\left(\dfrac{\pi }{2} + x\right) = \cos\left(x\right)

Formules d'addition

Pour tous réels a et b :

\cos\left(a-b\right)=\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)

\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)

\sin\left(a-b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)-\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)

\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)

Formules de duplication

Pour tout réel x :

\cos\left(2x\right)=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right)=2\cos^2\left(x\right)-1=1-2\sin^2\left(x\right)

\sin\left(2x\right)=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)

Equation de la forme \cos\left(x\right) = \cos\left(a\right)

Soit un réel a.
L'équation \cos\left(x\right) = \cos\left(a\right), d'inconnue x, a pour solutions réelles :

x = a \left[2\pi \right] \text{ ou } x = - a \left[2\pi \right]

c'est-à-dire :

x = a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right) \text{ ou } x = - a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right)

Equation de la forme \sin\left(x\right) = \sin\left(a\right)

Soit un réel a.
L'équation \sin\left(x\right) = \sin\left(a\right), d'inconnue x, a pour solutions réelles :

x = a \left[2\pi \right] \text{ ou } x = \pi - a \left[2\pi \right]

c'est-à-dire :

x = a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right) \text{ ou } x = \pi - a + 2k\pi \text{ } \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right)