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Les suites

I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

La fonction définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) par \(\displaystyle{u\left(n\right) = 2n+1}\) est une suite.
  • Pour désigner la suite \(\displaystyle{u}\) , on peut écrire \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) .
  • L'écriture \(\displaystyle{u_{n}}\) désigne en revanche le terme de rang \(\displaystyle{n}\) de la suite \(\displaystyle{u}\), c'est-à-dire \(\displaystyle{u\left(n\right)}\).
  • Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un rang \(\displaystyle{n_0}\). Dans ce cas, on écrit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_0}}\) pour désigner la suite u.

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie directement par son terme général :

\(\displaystyle{u_{n} = f\left(n\right)}\)

f est une fonction au moins définie sur \(\displaystyle{\mathbb{N}}\)

2. Définition par récurrence
Soient \(\displaystyle{f}\) une fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et un réel \(\displaystyle{a}\), une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) peut être définie par récurrence par :

  • \(\displaystyle{u_{0} = a }\)
  • pour tout entier n : \(\displaystyle{ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)}\)

3. Définition implicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.

Quel que soit le mode de définition d'une suite, il se peut que celle-ci ne soit définie qu'à partir d'un rang \(\displaystyle{n_0}\).

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \geq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) définie par récurrence par :

  • \(\displaystyle{u_0=12}\)
  • \(\displaystyle{u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n}\) pour tout entier n

On a, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2}\).

Or :

\(\displaystyle{\left(u_n \right)^2\geq0}\)

Donc, pour tout entier naturel n, on a :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\geq0}\)

Ainsi, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}\geq u_n}\)

Donc la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \gt u_{n}}\)

Suite décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \leq u_{n}}\)

Considérons la suite définie pour tout entier n non nul par :

\(\displaystyle{u_n=\dfrac1n}\)

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}}\)

Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :

\(\displaystyle{\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\lt0}\)

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\leq0}\)

Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}\leq u_n}\)

Par conséquent la suite \(\displaystyle{\left( u_n\right)}\) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \lt u_{n}}\)

Suite constante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n}}\)

Suite monotone

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Représentation graphique

Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(n;u_n\right)}\)n décrit les entiers naturels pour lesquels \(\displaystyle{u_n}\) est défini.

On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{u_n=n^2-1}\). Les premiers termes de la suite sont donnés dans le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4
\(\displaystyle{u_n}\) −1 0 3 8 15

On obtient la représentation graphique des premiers points de la suite :

-
II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suites arithmétiques

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est arithmétique s'il existe un réel \(\displaystyle{r}\) tel que, pour tout entier \(\displaystyle{n}\) où elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} + r}\)

On considère la suite définie par :

  • \(\displaystyle{ u_0 = 1 }\)
  • \(\displaystyle{ u_{n+1} = u_{n} - 2 }\), pour tout entier n

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est ainsi arithmétique.

Raison

Le réel \(\displaystyle{r}\) est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique de raison r.

  • Si \(\displaystyle{r\gt0}\), la suite est strictement croissante.
  • Si \(\displaystyle{r\lt0}\), la suite est strictement décroissante.
  • Si \(\displaystyle{r=0}\), la suite est constante.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r}\), définie à partir du rang \(\displaystyle{p}\).
Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) supérieur ou égal à \(\displaystyle{p}\), son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0 :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

On considère la suite arithmétique u de raison \(\displaystyle{r=-2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\).

On a alors, pour tout entier naturel n : \(\displaystyle{u_n=3-2n}\)

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale au produit de la demi-somme du premier et du dernier terme par le nombre de termes. En particulier :

\(\displaystyle{u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}}\)

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) une suite arithmétique raison \(\displaystyle{r=8}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=16}\).

Son terme général est donc \(\displaystyle{u_n=16+8n}\).

On souhaite calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}}\)

D'après la formule, on a :

\(\displaystyle{S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}}\)

Soit :

\(\displaystyle{S=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016}\)

En particulier, pour tout entier naturel non nul \(\displaystyle{n}\) :

\(\displaystyle{1 + 2 + 3 +... + n =\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}}\)

\(\displaystyle{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+15=\dfrac{15\times\left(15+1\right)}{2}=120}\)

Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.

On considère la suite arithmétique de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\) et de raison \(\displaystyle{r=-1}\). On constate sur sa représentation graphique que les points sont alignés.

-

Si u est une suite arithmétique de premier terme \(\displaystyle{u_0}\) et de raison r, les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation \(\displaystyle{y=rx+u_0}\).

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est géométrique s'il existe un réel \(\displaystyle{q}\) tel que, pour tout entier \(\displaystyle{n}\) où elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} \times q}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = 3u_{n}}\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est ainsi géométrique.

Raison

Le réel \(\displaystyle{q}\) est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif.

  • Si \(\displaystyle{q\gt1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est strictement croissante.
  • Si \(\displaystyle{0\lt q\lt1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est strictement décroissante.
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est constante.

Terme général d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q}\), définie à partir du rang \(\displaystyle{p}\).
Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) supérieur ou égal à \(\displaystyle{p}\), son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0 :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

On considère une suite u géométrique de raison \(\displaystyle{q=2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\).

On a alors, pour tout entier naturel n : \(\displaystyle{u_n=3\times2^n}\)

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q \neq 1}\), définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) :

\(\displaystyle{u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

Plus généralement, pour tout entier naturel \(\displaystyle{p \lt n}\) :

\(\displaystyle{u_{p} + u_{p+1} + u_{p+2} +... + u_{n} = u_{p}\dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}}\)

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=5}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=4}\).

On souhaite calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}}\)

D'après la formule, on sait que :

\(\displaystyle{S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{S=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1}\)

L'exposant \(\displaystyle{\left(n+1\right)}\) apparaissant dans la première formule, ou \(\displaystyle{\left(n-p+1\right)}\) dans le cas général, correspond en fait au nombre de termes de la somme.

En particulier, pour tout réel \(\displaystyle{q}\) différent de 1 et tout entier naturel non nul \(\displaystyle{n}\) :

\(\displaystyle{1 + q + q^{2} +... + q^{n} =\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

\(\displaystyle{1+3+3^2+3^3+ \cdot\cdot\cdot+3^{52}=\dfrac{1-3^{53}}{1-3}=-\dfrac12+\dfrac12\times3^{53}}\)

Soit u une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q\neq1}\). Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.

On considère la suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=0,5}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=16}\). On constate que les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés :

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