Calculer une somme de termes consécutifs d'une suiteMéthode

Méthode 1

Si l'on reconnaît la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Calculer la somme suivante :

S= \sum_{k=0}^n \left(3k-2\right)

Etape 1

Identifier le terme général de la suite

On identifie que, \forall n \in \mathbb{N}, S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k avec \left(u_n\right) une suite arithmétique dont on précise la raison et le premier terme.

\forall n \in \mathbb{N}, on note u_n= 3n-2.

\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=3 et de premier terme u_0 =-2.

Ainsi S = \sum _{k=0}^n u_k.

Etape 2

Rappeler la formule

On rappelle que, d'après le cours, si \left(u_n\right) est une suite arithmétique, alors :

\sum u_k = \dfrac{\left(premier \; terme + dernier \; terme\right)\times \left(nombre \; de \; termes\right)}{2}

D'après le cours, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :

\sum u_k = \dfrac{\left(premier \; terme + dernier \; terme\right)\times \left(nombre \; de \; termes\right)}{2}

Etape 3

Appliquer la formule

On identifie alors et on calcule :

  • Le premier terme demandé (souvent u_0 ) ;
  • Le dernier terme demandé (souvent u_n ) ;
  • Le nombre de termes.

Le nombre de termes entre u_p et u_n est n-p+1.

Entre u_{10} et u_{20}, le nombre de termes est égal à :

N = 20-10 +1 =11.

Ici :

  • Le premier terme demandé est u_0=-2.
  • Le dernier terme demandé est u_n = 3n-2.
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut n+1.

On obtient :

S = \dfrac{\left(-2+3n-2\right)\left(n+1\right)}{2}.

S = \dfrac{\left(3n-4\right)\left(n+1\right)}{2}

Méthode 2

Si l'on reconnaît la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Calculer la somme suivante :

S= \sum_{k=1}^n 3 \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^k

Etape 1

Identifier le terme général de la suite

On identifie que, \forall n \in \mathbb{N}, S_n = \sum_{k=0}^{k=n}u_k, avec \left(u_n\right) une suite géométrique dont on précise la raison et le premier terme.

\forall n \in \mathbb{N}, on note u_n= 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q= \dfrac{1}{2} et de premier terme u_1 =\dfrac{3}{2}.

Ainsi, S = \sum _{k=1}^n u_k.

Etape 2

Rappeler la formule

On rappelle que, d'après le cours, si \left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q \neq 1, alors :

\sum u_k =premier \; terme \times \dfrac{ 1-q^{nombre \; de \; termes}}{1-q}

La somme des termes d'une suite géométrique de raison q \neq 1 est égale à :

\sum u_k =premier \; terme \times \dfrac{ 1-q^{nombre \; de \; termes}}{1-q}

Etape 3

Appliquer la formule

On identifie alors et, si nécessaire, on calcule :

  • Le premier terme demandé (souvent u_0 )
  • La raison
  • Le nombre de termes

Le nombre de termes entre u_p et u_n est n-p+1.

Le nombre de termes entre u_{10} et u_{20} est égal à :

N = 20-10 +1 =11

Ici, on a :

  • Le premier terme demandé est u_1 = 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^1 =\dfrac{3}{2}.
  • La raison est q= \dfrac{1}{2}.
  • Le nombre de termes entre 1 et n est égal à n.

Ainsi :

S = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}

S = 3 \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \right]

Méthode 3

Si le terme général de la somme peut être séparé en un morceau géométrique et un morceau arithmétique ou une constante

On peut calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique. On peut donc déterminer la somme d'une suite présentant une partie arithmétique et l'autre géométrique.

Calculer la somme suivante :

S = \sum_{k=0}^n \left[ 2k+3-4\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^k \right]

Etape 1

Simplifier le terme général

Dans le terme général de la somme, on identifie une partie arithmétique et une partie géométrique.

Si on cherche \sum w_k, on écrit que w_k = u_k +v_k avec :

  • \left(u_n\right) une suite arithmétique dont on précise le premier terme et la raison.
  • \left(v_n\right) une suite géométrique dont on précise le premier terme et la raison.

On pose, \forall n \in \mathbb{N} u_n = 3+2n et \forall n \in \mathbb{N}, v_n= -4\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n.

On remarque que, \forall n \in \mathbb{N}, w_n = 3+2n -4 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = u_n+v_n, où :

  • \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u_0 =3.
  • \left(v_n\right) est une suite géométrique de raison q= \dfrac{1}{3} et de premier terme u_0 =-4.
Etape 2

Utiliser la linéarité

On applique la linéarité de la somme :

\sum w_k =\sum \left(u_k+v_k\right)= \sum u_k + \sum v_k

On a :

S = \sum_{k=0}^n\left(u_k+v_k\right)

Donc par linéarité de la somme :

S = \sum_{k=0}^n u_k+ \sum_{k=0}^n v_k

Etape 3

Calculer les sommes séparément

On calcule séparément :

  • \sum u_k, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
  • \sum v_k, la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Comme \left(u_n\right) est arithmétique, on sait que :

\sum u_k = \dfrac{\left(premier \; terme + dernier \; terme\right)\times \left(nombre \; de \; termes\right)}{2}

Ici :

  • Le premier terme demandé est u_0=3.
  • Le dernier terme demandé est u_n = 3+2n.
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut n+1.

On obtient :

\sum u_k = \dfrac{\left(3+3+2n\right)\left(n+1\right)}{2}.

\sum u_k = \dfrac{\left(2n+6\right)\left(n+1\right)}{2}

\sum u_k = \left(n+3\right)\left(n+1\right)

Comme \left(v_n\right) est géométrique, on sait que :

\sum v_k =premier \; terme \times \dfrac{ 1-q^{nombre \; de \; termes}}{1-q}

Ici :

  • Le premier terme demandé est v_0=-4.
  • La raison est q=\dfrac{1}{3}
  • Le nombre de termes entre 0 et n vaut n+1.

On obtient :

\sum v_k = -4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}

\sum v_k = -4\times\dfrac{3}{2} \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]

\sum v_k = -6 \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]

Etape 4

Conclure

On peut alors donner la valeur de \sum w_k en additionnant les deux résultats précédents.

On obtient finalement :

S = \sum u_k + \sum v_k

S =\left(n+3\right)\left(n+1\right) -6 \times \left[ 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \right]

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