Etudier deux suites imbriquées Problème

Soient \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) et \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) les suites définies sur \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac{3u_n+4v_n}{7} \end{cases}}\) et \(\displaystyle{\begin{cases} v_0=1\\ v_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7} \end{cases}}\)

On cherche à déterminer une forme explicite de \(\displaystyle{u_n}\) et \(\displaystyle{v_n}\).

On pose, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{w_n=u_n+v_n}\) et \(\displaystyle{x_n=v_n-u_n}\)

Quelles sont les valeurs de \(\displaystyle{u_1}\) et \(\displaystyle{v_1}\) ?

Quelle proposition montre que la suite \(\displaystyle{\left(w_n\right)}\) est constante ?

Quelle proposition montre que la suite \(\displaystyle{\left(x_n\right)}\) est géométrique ?

Quelle est la forme explicite de \(\displaystyle{u_n}\) et \(\displaystyle{v_n}\) ?

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