Montrer qu'une suite est bornée Méthode

Sommaire

1Montrer que la suite est majorée 2Montrer que la suite est minorée 3Conclure

Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}

Montrer que la suite \left(u_n\right) est bornée.

Etape 1

Montrer que la suite est majorée

Si le majorant M est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est majorée par M. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\leq M.

Si le majorant M n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.

Une suite négative est majorée par 0.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = -\dfrac{1}{n}.

On sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\lt 0

Ainsi, \left(u_n\right) est majorée par 0.

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}.

On remarque que :

\forall n \in \mathbb{N}, n+1 \lt 2n+3

Or, \forall n \in \mathbb{N}, n+1 \gt 0 et 2n+3 \gt 0

On en déduit que :

\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n+1}{2n+3} \lt 1

Donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n \lt 1

Ainsi, la suite \left(u_n\right) est majorée par 1.

Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Etape 2

Montrer que la suite est minorée

Si le minorant m est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est minorée par m. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\geqslant m.

Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.

Une suite positive est forcément minorée par 0.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = \dfrac{1}{n}.

On sait que \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n\gt 0

Ainsi, \left(u_n\right) est minorée par 0.

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}.

On remarque que :

  • \forall n \in \mathbb{N}, n+1 \gt 0
  • \forall n \in \mathbb{N}, 2n+3\gt 0

On en déduit que :

\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n+1}{2n+3} \gt 0

Donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n \gt 0

Ainsi, la suite \left(u_n\right) est minorée par 0.

Une suite croissante est minorée par son premier terme.

Etape 3

Conclure

On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On en conclut donc que la suite est bornée.

\left(u_n\right) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0. Elle est donc bornée.