Montrer qu'une suite est bornéeMéthode

Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}

Montrer que la suite \left(u_n\right) est bornée.

Etape 1

Montrer que la suite est majorée

Si le majorant M est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est majorée par M. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\leq M.

Si le majorant M n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.

Une suite négative est majorée par 0.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = -\dfrac{1}{n}.

On sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\lt 0

Ainsi, \left(u_n\right) est majorée par 0.

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}.

On remarque que :

\forall n \in \mathbb{N}, n+1 \lt 2n+3

Or, \forall n \in \mathbb{N}, n+1 \gt 0 et 2n+3 \gt 0

On en déduit que :

\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n+1}{2n+3} \lt 1

Donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n \lt 1

Ainsi, la suite \left(u_n\right) est majorée par 1.

Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Etape 2

Montrer que la suite est minorée

Si le minorant m est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est minorée par m. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\geqslant m.

Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.

Une suite positive est forcément minorée par 0.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = \dfrac{1}{n}.

On sait que \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n\gt 0

Ainsi, \left(u_n\right) est minorée par 0.

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}.

On remarque que :

  • \forall n \in \mathbb{N}, n+1 \gt 0
  • \forall n \in \mathbb{N}, 2n+3\gt 0

On en déduit que :

\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n+1}{2n+3} \gt 0

Donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n \gt 0

Ainsi, la suite \left(u_n\right) est minorée par 0.

Une suite croissante est minorée par son premier terme.

Etape 3

Conclure

On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On en conclut donc que la suite est bornée.

\left(u_n\right) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0. Elle est donc bornée.