Calculer les premiers termes d'une suite Méthode

Sommaire

Méthode 1Si la suite est définie de manière explicite 1Rappeler l'écriture de la suite 2Remplacer nMéthode 2Si la suite est définie par récurrence 1Rappeler l'écriture de la suite 2Calculer u_1 à partir de u_0 3Calculer u_2 à partir de u_1 4Calculer les termes suivants
Méthode 1

Si la suite est définie de manière explicite

Si \left(u_n\right) est définie de manière explicite, il suffit de remplacer n par le numéro voulu pour obtenir la valeur du terme correspondant. On peut alors calculer simplement les premiers termes de la suite.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{1}{n+1}-1

Calculer les valeurs de u_0, u_1 et u_2.

Etape 1

Rappeler l'écriture de la suite

On rappelle l'écriture des termes de la suite : \forall n \in \mathbb{N}, u_n =f\left(n\right).

On a, \forall n \in \mathbb{N}, u_n =\dfrac{1}{n+1}-1.

Etape 2

Remplacer n

On remplace n dans l'expression de u_n :

  • Par 0 pour calculer u_0
  • Par 1 pour calculer u_1
  • Par 2 pour calculer u_2, etc.

On remplace n par 0 dans l'expression de u_n.

On obtient :

u_0 = \dfrac{1}{0+1}-1

Donc u_0 = 0

On remplace n par 1 dans l'expression de u_n.

On obtient :

u_1 = \dfrac{1}{1+1}-1

Donc u_1 = -\dfrac{1}{2}

On remplace ensuite n par 2 dans l'expression de u_n.

On obtient :

u_2 = \dfrac{1}{2+1}-1

Donc u_2= -\dfrac{2}{3}

Penser à bien remplacer tous les n de l'expression par le numéro voulu et à respecter les opérations.

Méthode 2

Si la suite est définie par récurrence

Si \left(u_n\right) est définie par récurrence, on calcule chaque terme à partir du (ou des) terme(s) précédent(s). On peut donc calculer un à un les premiers termes de la suite.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =3u_n+2\end{cases}

Donner les valeurs de u_0, u_1 et u_2.

Etape 1

Rappeler l'écriture de la suite

On rappelle l'écriture des termes de la suite :

\begin{cases} u_0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =f\left(u_n\right)\end{cases}

On a :

\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =3u_n+2\end{cases}

Etape 2

Calculer u_1 à partir de u_0

On a, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = f\left(u_n\right). De plus, on connaît la valeur de u_0.

Ainsi, en remplaçant n par 0, on obtient :

u_{1} = f\left(u_0\right)

En remplaçant n par 0, on obtient :

u_1 = 3u_0+2

Ainsi :

u_1 = 3\times 1+2

u_1 = 5

Etape 3

Calculer u_2 à partir de u_1

On a, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = f\left(u_n\right). De plus, on connaît désormais la valeur de u_1.

Ainsi, en remplaçant n par 1, on peut calculer :

u_{2} = f\left(u_1\right)

En remplaçant n par 1, on obtient :

u_2 = 3u_1+2

Ainsi :

u_2 = 3\times 5+2

u_2 = 17

Etape 4

Calculer les termes suivants

On procède de la même manière pour calculer les autres termes demandés.

Ici, on ne demande pas la valeur de u_3. On peut donc s'arrêter là.