Calculer les premiers termes d'une suiteMéthode

Méthode 1

Si la suite est définie de manière explicite

Si \left(u_n\right) est définie de manière explicite, il suffit de remplacer n par le numéro voulu pour obtenir la valeur du terme correspondant. On peut alors calculer simplement les premiers termes de la suite.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{1}{n+1}-1

Calculer les valeurs de u_0, u_1 et u_2.

Etape 1

Rappeler l'écriture de la suite

On rappelle l'écriture des termes de la suite : \forall n \in \mathbb{N}, u_n =f\left(n\right).

On a, \forall n \in \mathbb{N}, u_n =\dfrac{1}{n+1}-1.

Etape 2

Remplacer n

On remplace n dans l'expression de u_n :

  • Par 0 pour calculer u_0
  • Par 1 pour calculer u_1
  • Par 2 pour calculer u_2, etc.

On remplace n par 0 dans l'expression de u_n.

On obtient :

u_0 = \dfrac{1}{0+1}-1

Donc u_0 = 0

On remplace n par 1 dans l'expression de u_n.

On obtient :

u_1 = \dfrac{1}{1+1}-1

Donc u_1 = -\dfrac{1}{2}

On remplace ensuite n par 2 dans l'expression de u_n.

On obtient :

u_2 = \dfrac{1}{2+1}-1

Donc u_2= -\dfrac{2}{3}

Penser à bien remplacer tous les n de l'expression par le numéro voulu et à respecter les opérations.

Méthode 2

Si la suite est définie par récurrence

Si \left(u_n\right) est définie par récurrence, on calcule chaque terme à partir du (ou des) terme(s) précédent(s). On peut donc calculer un à un les premiers termes de la suite.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =3u_n+2\end{cases}

Donner les valeurs de u_0, u_1 et u_2.

Etape 1

Rappeler l'écriture de la suite

On rappelle l'écriture des termes de la suite :

\begin{cases} u_0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =f\left(u_n\right)\end{cases}

On a :

\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =3u_n+2\end{cases}

Etape 2

Calculer u_1 à partir de u_0

On a, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = f\left(u_n\right). De plus, on connaît la valeur de u_0.

Ainsi, en remplaçant n par 0, on obtient :

u_{1} = f\left(u_0\right)

En remplaçant n par 0, on obtient :

u_1 = 3u_0+2

Ainsi :

u_1 = 3\times 1+2

u_1 = 5

Etape 3

Calculer u_2 à partir de u_1

On a, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = f\left(u_n\right). De plus, on connaît désormais la valeur de u_1.

Ainsi, en remplaçant n par 1, on peut calculer :

u_{2} = f\left(u_1\right)

En remplaçant n par 1, on obtient :

u_2 = 3u_1+2

Ainsi :

u_2 = 3\times 5+2

u_2 = 17

Etape 4

Calculer les termes suivants

On procède de la même manière pour calculer les autres termes demandés.

Ici, on ne demande pas la valeur de u_3. On peut donc s'arrêter là.