Les suitesCours

I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.

La fonction définie pour tout entier naturel n par u\left(n\right) = 2n+1 est une suite.
  • Pour désigner la suite u , on peut écrire \left(u_{n}\right) .
  • L'écriture u_{n} désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u\left(n\right).
  • Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un rang n_0. Dans ce cas, on écrit \left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_0} pour désigner la suite u.

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie directement par son terme général :

u_{n} = f\left(n\right)

f est une fonction au moins définie sur \mathbb{N}

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} et un réel a, une suite \left(u_{n}\right) peut être définie par récurrence par :

  • u_{0} = a
  • pour tout entier n : u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)

3. Définition implicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.

Quel que soit le mode de définition d'une suite, il se peut que celle-ci ne soit définie qu'à partir d'un rang n_0.

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \geq u_{n}

Considérons la suite \left(u_n \right) définie par récurrence par :

  • u_0=12
  • u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n pour tout entier n

On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2.

Or :

\left(u_n \right)^2\geq0

Donc, pour tout entier naturel n, on a :

u_{n+1}-u_n\geq0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}\geq u_n

Donc la suite \left(u_n \right) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \gt u_{n}

Considérons la suite \left(u_n \right) définie par récurrence par :

  • u_0=4
  • u_{n+1}=u_n+1 pour tout entier n

On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n=1.

Or :

1 \gt 0

Donc, pour tout entier naturel n, on a :

u_{n+1}-u_n \gt 0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} \gt u_n

Donc la suite \left(u_n \right) est strictement croissante.

Suite décroissante

La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \leq u_{n}

Considérons la suite définie pour tout entier n non nul par :

u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}

Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :

\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\lt0

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}-u_n\leq0

Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}\leq u_n

Par conséquent la suite \left( u_n\right) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \lt u_{n}

Considérons la suite \left(u_n \right) définie par récurrence par :

  • u_0=4
  • u_{n+1}=u_n-1 pour tout entier n

On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n=-1.

Or :

-1 \lt 0

Donc, pour tout entier naturel n, on a :

u_{n+1}-u_n \lt 0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} \lt u_n

Donc la suite \left(u_n \right) est strictement décroissante.

Suite constante

La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} = u_{n}

Suite monotone

La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Représentation graphique

Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées \left(n;u_n\right)n décrit les entiers naturels pour lesquels u_n est défini.

On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u_n=n^2-1. Les premiers termes de la suite sont donnés dans le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4
u_n −1 0 3 8 15

On obtient la représentation graphique des premiers points de la suite :

-
II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suites arithmétiques

Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n où elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} + r

On considère la suite définie par :

  • u_0 = 1
  • u_{n+1} = u_{n} - 2 , pour tout entier n

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est ainsi arithmétique.

Raison

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r.

  • Si r\gt0, la suite est strictement croissante.
  • Si r\lt0, la suite est strictement décroissante.
  • Si r=0, la suite est constante.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :

u_{n} = u_{0} + nr

On considère la suite arithmétique u de raison r=-2 et de premier terme u_5=3.

On a alors, pour tout entier naturel n\geq 5 : u_n=3−2(n−5)=13−2n

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale au produit de la demi-somme du premier et du dernier terme par le nombre de termes. En particulier :

u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}

Soit \left( u_n \right) une suite arithmétique de raison r=8 et de premier terme u_0=16.

Son terme général est donc u_n=16+8n.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}

D'après la formule, on a :

S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}

Soit :

S=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016

En particulier, pour tout entier naturel non nul n :

1 + 2 + 3 +... + n =\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

1+2+3+\cdot\cdot\cdot+15=\dfrac{15\times\left(15+1\right)}{2}=120

Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.

On considère la suite arithmétique de premier terme u_0=3 et de raison r=-1. On constate sur sa représentation graphique que les points sont alignés.

-

Si u est une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation y=rx+u_0.

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n où elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} \times q

On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = 3u_{n}

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est ainsi géométrique.

Raison

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif.

  • Si q\gt1, la suite \left(q^n\right) est strictement croissante.
  • Si 0\lt q\lt1, la suite \left(q^n\right) est strictement décroissante.
  • Si q=1, la suite \left(q^n\right) est constante.

Terme général d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

On considère une suite u géométrique de raison q=2 et de premier terme u_5=3.

On a alors, pour tout entier naturel n\geq 5 : u_n=3\times 2^{n−5}

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q \neq 1, définie pour tout entier naturel n :

u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Plus généralement, pour tout entier naturel p \lt n :

u_{p} + u_{p+1} + u_{p+2} +... + u_{n} = u_{p}\dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}

Soit \left( u_n \right) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_0=4.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}

D'après la formule, on sait que :

S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}

Ainsi :

S=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1

L'exposant \left(n+1\right) apparaissant dans la première formule, ou \left(n-p+1\right) dans le cas général, correspond en fait au nombre de termes de la somme.

En particulier, pour tout réel q différent de 1 et tout entier naturel non nul n :

1 + q + q^{2} +... + q^{n} =\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

1+3+3^2+3^3+ \cdot\cdot\cdot+3^{52}=\dfrac{1-3^{53}}{1-3}=-\dfrac12+\dfrac12\times3^{53}

Soit u une suite géométrique de raison q\neq1. Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.

On considère la suite géométrique de raison q=0,5 et de premier terme u_0=16. On constate que les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés :

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