Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa forme expliciteMéthode

Une suite arithmétique est une suite telle que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n +r, avec r\in \mathbb{R}. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel r.

Une fois que l'on a identifié une suite arithmétique, on peut donner sa forme explicite.

On considère la suite définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \left(n+2\right)^2-n^2

Montrer que \left(u_n\right) est une suite arithmétique et donner sa forme explicite.

Etape 1

Calculer u_{n+1}-u_n

Pour tout entier n, on calcule u_{n+1}-u_n.

Soit n un entier naturel. On calcule :

u_{n+1}-u_n = \left[ \left(n+3\right)^2-\left(n+1\right)^2 \right]-\left[ \left(n+2\right)^2-n^2 \right]

u_{n+1}-u_n = \left[ n^2+6n+9-n^2-2n-1 \right]-\left[n^2+4n+4-n^2 \right]

u_{n+1}-u_n = \left[ 4n+8\right]-\left[4n+4 \right]

u_{n+1}-u_n = 4n+8-4n-4

u_{n+1}-u_n = 4

Etape 2

Conclure que \left(u_n\right) est arithmétique

S'il existe un réel r, tel que \forall n \in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n = r, alors on conclut que \left(u_n\right) est arithmétique.

On précise la valeur de sa raison r et de son premier terme (en général u_0 ).

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, u_{n+1}- u_n =r , la raison r doit être un réel qui ne dépend pas de n.

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=4 \in \mathbb{R}.

Donc \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=4 et de premier terme u_0 = \left(0+2\right)^2-0^2= 4.

Etape 3

Donner l'écriture explicite de \left(u_n\right)

Si \left(u_n\right) est arithmétique de raison r et de premier terme u_0, alors :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0+nr

Plus généralement, si le premier terme est u_p, alors :

\forall n \geq p, u_n = u_p+\left(n-p\right)r

Comme \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=4 et de premier terme u_0=4, alors \forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 + nr.

Ainsi :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 4+4n = 4\left(n+1\right)