Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa forme expliciteMéthode

Une suite géométrique est une suite \left(v_n\right) telle que \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = v_n \times q, avec q\in \mathbb{R}. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel q.

Une fois que l'on a identifié une suite géométrique, on peut donner sa forme explicite.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0 = 2 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} = 3u_n -1\end{cases}

Soit la suite \left(v_n\right) définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, v_n =u_n -\dfrac{1}{2}

Montrer que \left(v_n\right) est géométrique. Donner sa forme explicite.

Etape 1

Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n

Pour tout entier n, on calcule v_{n+1} et on fait apparaître l'expression de v_n, pour pouvoir exprimer v_{n+1} en fonction de v_n.

On cherche à obtenir un résultat de la forme : v_{n+1} = v_n \times q , avec q \in\mathbb{R}.

On calcule v_{n+1} :

\forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} =u_{n+1} -\dfrac{1}{2} = 3u_n -1 - \dfrac{1}{2} = 3u_n -\dfrac{3}{2}

On exprime ensuite v_{n+1} en fonction de v_n.

On sait que :

\forall n \in \mathbb{N}, v_{n} =u_{n} -\dfrac{1}{2}

Donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} =v_{n} +\dfrac{1}{2}

Ainsi :

\forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} =3\left(v_{n} +\dfrac{1}{2} \right) -\dfrac{3}{2} = 3v_{n} +\dfrac{3}{2} -\dfrac{3}{2} = 3v_n

Etape 2

Conclure que \left(v_n\right) est géométrique

Si \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=v_n\times q, avec q \in \mathbb{R}, alors \left(v_n\right) est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme (en général v_0 ).

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, v_{n+1}= v_n \times q , la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Pour tout entier n, on a v_{n+1} = 3v_n.

Donc \left(v_n\right) est géométrique de raison q=3 et de premier terme v_0 = u_0-\dfrac{1}{2} = 2-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.

Etape 3

Donner l'expression de v_n en fonction de n

Si \left(v_n\right) est géométrique de raison q et de premier terme v_0, alors :

\forall n \in \mathbb{N}, v_n = v_0 \times q^n

Plus généralement, si le premier terme est v_p, alors :

\forall n \geq p, v_n = v_p\times q^{n-p}

Comme \left(v_n\right) est géométrique de raison q=3 et de premier terme v_0=\dfrac{3}{2}, alors \forall n \in \mathbb{N}, v_n = v_0 \times q^n.

Ainsi :

\forall n \in \mathbb{N}, v_n = \dfrac{3}{2}\times 3^n

Pour montrer qu'une suite \left(v_n\right) est géométrique, on peut également montrer qu'il existe un réel q tel que pour tout entier n, \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q.

Cependant, on ne peut utiliser cette méthode que si l'on a préalablement montré que pour tout entier n, v_n \neq 0.