Représenter graphiquement une suite définie par récurrence Méthode

Sommaire

1Déterminer l'expression de f 2Tracer C_f et la droite d'équation y=x 3Placer u_0 en abscisse 4Placer u_1 en abscisse 5Placer les autres points

On peut représenter graphiquement les termes d'une suite dans un repère. Une démarche spécifique est à suivre lorsqu'elle est définie par récurrence.

Soit la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0 = \dfrac{3}{2} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =\left(u_n\right)^2\end{cases}

Placer u_0, u_1 et u_2 sur l'axe des abscisses.

Etape 1

Déterminer l'expression de f

On détermine l'expression de la fonction f telle que, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f\left(u_n\right).

On a :

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f\left(u_n\right)

Avec \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2.

Etape 2

Tracer C_f et la droite d'équation y=x

On trace dans le même repère C_f (la courbe représentative de f) et la droite d'équation y = x.

On trace la courbe représentative de f ainsi que la droite d'équation y=x dans un repère.

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Etape 3

Placer u_0 en abscisse

On place u_0 en abscisse.

On place u_0 = \dfrac{3}{2} en abscisse.

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Etape 4

Placer u_1 en abscisse

On détermine u_1= f\left(u_0\right) sur la courbe représentative de f. On rejoint ensuite horizontalement la droite d'équation y= x, et on place l'abscisse de la valeur trouvée.

Cela donne u_1 sur l'axe des abscisses.

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On a u_1 = f\left(u_0\right). On trace u_1 en s'aidant de C_f et de la droite d'équation y = x.

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Etape 5

Placer les autres points

On répète l'opération pour placer sur l'axe des abscisses les autres points :

  • u_2 (qui vaut f\left(u_1\right) )
  • u_3 (qui vaut f\left(u_2\right) ), etc.

On place ensuite u_2 avec la même technique.

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En général, on demande de placer les points sur l'axe des abscisses. Si on demande les points M_n \left(n; u_n\right), il suffit de conserver la valeur de u_n en ordonnée et de choisir pour abscisse n. On obtient alors un nuage de points.