On peut représenter graphiquement les termes d'une suite dans un repère. Une démarche spécifique est à suivre lorsqu'elle est définie par récurrence.
Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right) }\) définie par :
\(\displaystyle{\begin{cases} u_0 = \dfrac{3}{2} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =\left(u_n\right)^2\end{cases}}\)
Placer \(\displaystyle{u_0}\), \(\displaystyle{u_1}\) et \(\displaystyle{u_2}\) sur l'axe des abscisses.
Déterminer l'expression de f
On détermine l'expression de la fonction f telle que, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n+1} = f\left(u_n\right)}\).
On a :
\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n+1} = f\left(u_n\right)}\)
Avec \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\).
Tracer \(\displaystyle{C_f}\) et la droite d'équation \(\displaystyle{y=x}\)
On trace dans le même repère \(\displaystyle{C_f}\) (la courbe représentative de f) et la droite d'équation \(\displaystyle{y = x}\).
Placer \(\displaystyle{u_1}\) en abscisse
On détermine \(\displaystyle{u_1= f\left(u_0\right)}\) sur la courbe représentative de f. On rejoint ensuite horizontalement la droite d'équation \(\displaystyle{y= x}\), et on place l'abscisse de la valeur trouvée.
Cela donne \(\displaystyle{u_1}\) sur l'axe des abscisses.
Placer les autres points
On répète l'opération pour placer sur l'axe des abscisses les autres points :
- \(\displaystyle{u_2}\) (qui vaut \(\displaystyle{f\left(u_1\right)}\) )
- \(\displaystyle{u_3}\) (qui vaut \(\displaystyle{f\left(u_2\right)}\) ), etc.
