Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

La trigonométrie

I

Les angles orientés

A

Les radians

Radian

Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad et définie par :

π rad=180

A partir de ce chapitre, tous les angles sont exprimés par défaut en radians.

Les mesures remarquables suivantes sont à connaître :

Radians0π6π4π3π2π2π
Degrés030456090180360

La longueur de l'arc de cercle de rayon R et d'angle α rad est égale à :

αR

-
B

Le cercle trigonométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j). On désigne les points I(1;0) et J(0;1).

Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1, et dont le sens positif est le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Chaque point A du cercle peut être associé à un réel égal à la longueur de l'arc de cercleIA.

-

Deux réels a et b peuvent être associés au même point du cercle, si et seulement s'il existe un entier k tel que : ab=2kπ. Le réel a est alors égal au réel b modulo 2π et on note : a=b[2π].

8π32π3=6π3=2π.

Ainsi on peut écrire :

8π3=2π3[2π].

Les réels 8π3 et 2π3 sont donc associés au même point du cercle trigonométrique.

Le sens indirect correspond au sens négatif.

C

L'angle orienté de deux vecteurs

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j).

Angle orienté

Soient u et v deux vecteurs non nuls.
On appelle angle orienté des deux vecteurs u et v le couple (u;v).

Mesure de l'angle orienté

Soient u et v deux vecteurs non nuls. Soient M et N les points du cercle trigonométrique tels que :

  • OM est colinéaire à u et de même sens
  • ON est colinéaire à v et de même sens

Soient x et y deux réels associés aux points M et N du cercle trigonométrique. On appelle mesure de l'angle orienté (u;v) le réel yx.

-

Si α est une mesure de l'angle orienté (u;v), alors pour tout entier k, le réel α+2kπ est également une mesure de l'angle orienté (u;v). On dit que l'angle orienté (u;v) a pour mesure α[2π], et on note :

(u;v)=α[2π]

-

Le triangle ABC est équilatéral donc (AC;AB)=π3[2π].

On a également (AB;AC)=π3[2π]

Mesure principale

Soient deux vecteurs non nuls u et v.
On appelle mesure principale de l'angle (u;v) son unique mesure comprise dans l'intervalle (d'amplitude 2π ) :

]π;π]

Soit l'angle orienté (u;v)=7π2[2π]

Le réel 7π2 étant supérieur à π, il ne s'agit pas de la mesure principale de l'angle (u;v). Pour la déterminer, on soustrait une première fois la valeur 2π :

(u;v)=7π24π2=3π2[2π]

Le réel 3π2 étant également supérieur à π, on soustrait une nouvelle fois la valeur 2π :

(u;v)=3π24π2=π2[2π]

De plus :

π2]π;π]

La mesure principale de l'angle (u;v) est donc π2.

Un angle orienté admet une infinité de mesures, toutes égales modulo 2π.

D

Propriétés des angles orientés

Relation de Chasles

Soient trois vecteurs non nuls u, v et w. Alors :

(u;v)+(v;w)=(u;w)[2π]

-

D'après la relation de Chasles :

(AB;DE)=(AB;BC)+(BC;CD)+(CD;DE)[2π]

Soient u et v deux vecteurs non nuls.

(v;u)=(u;v)[2π]

On admet que :

(AB;AC)=π6[2π]

Dans ce cas, on a :

(AC;AB)=π6[2π]

Soient u et v deux vecteurs non nuls, a et b deux réels non nuls.

Cas 1

Si ab>0

(au;bv)=(u;v)[2π]

Cas 2

Si ab<0

(au;bv)=(u;v)+π[2π]

Soit (AB;AC)=π5[2π].

On a :

(5AB;13AC)=(AB;AC)[2π]=π5[2π] car 5×(13)>0

En revanche :

(5AB;13AC)=(AB;AC)[2π]=π5+π[2π]=4π5[2π] car 5×(13)<0

II

Le cosinus et le sinus

A

Caractérisation sur le cercle trigonométrique

Coordonnées d'un point

Soient un réel x et M le point du cercle trigonométrique associé à x. Les coordonnées de M dans le repère sont :

M (cos(x);sin(x))

Autrement dit, on a :

OM=cos(x)i+sin(x)j

-

Pour tout réel x :

cos2(x)+sin2(x)=1

sin2(π4)+cos2(π4)=(22)2+(22)2=24+24=1

Pour tout réel x :

1cos(x)1

1sin(x)1

Pour tout réel x et pour tout entier k :

cos(x+2kπ)=cos(x)

sin(x+2kπ)=sin(x)

cos(8π3)=cos(2π3+2π)=cos(2π3)

B

Les valeurs remarquables

Les valeurs remarquables de cos et sin sont les suivantes :

x0π6π4π3π2
sin(x)01222321
cos(x)13222120
C

Les formules des angles associés

Pour tout réel x :

cos(x)=cos(x) et sin(x)=sin(x)

cos(πx)=cos(x) et sin(πx)=sin(x)

cos(π+x)=cos(x) et sin(π+x)=sin(x)

cos(π2x)=sin(x) et sin(π2x)=cos(x)

cos(π2+x)=sin(x) et sin(π2+x)=cos(x)

-

cos(7π6)=cos(π+π6)=cos(π6)=32

sin(7π6)=sin(π25π3)=cos(5π3)

D

Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition

Pour tous réels a et b :

cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)

sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

On remarque que :

cos(π12)=cos(π3π4)=cos(π3)cos(π4)+sin(π3)sin(π4)

On a donc :

cos(π12)=12×22+32×22=2+64

Formules de duplication

Pour tout réel x :

cos(2x)=cos2(x)sin2(x)=2cos2(x)1=12sin2(x)

De plus :

sin(2x)=2sin(x)cos(x)

sin(2π3)=sin(2×π3)=2sin(π3)cos(π3)=2×32×12=32

III

Les équations trigonométriques

A

cos(x)=cos(a)

Equation de la forme cos(x)=cos(a)

Soit un réel a. On a :

cos(x)=cos(a)x=a[2π]oux=a[2π]

C'est-à-dire :

cos(x)=cos(a)x=a+2kπ,koux=a+2kπ,k

-

On se propose de résoudre l'équation cos(x)=cos(π4) dans .

Les solutions sont les réels x définis par :

  • x=π4+2kπ avec k
  • x=π4+2kπ avec k
B

sin(x)=sin(a)

Equation de la forme sin(x)=sin(a)

Soit un réel a

sin(x)=sin(a)x=a[2π]oux=πa[2π]

C'est-à-dire :

sin(x)=sin(a)x=a+2kπ,koux=πa+2kπ,k

-

On se propose de résoudre l'équation sin(x)=sin(π3) dans .

Les solutions sont les réels x tels que :

  • x=π3+2kπ avec k
  • x=ππ3+2kπ=2π3+2kπ avec k

Si on a une équation du type cos(x)=sin(a) ou sin(x)=cos(a), on peut se ramener à une équation des deux types précédents en utilisant des angles associés.

  • On peut, par exemple, remplacer sin(a) par cos(π2a). L'équation devient cos(x)=cos(π2a).
  • On peut également remplacer cos(a) par sin(π2a). L'équation devient sin(x)=sin(π2a).
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