On considère le triangle orienté ABC suivant :
On sait que :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right] et \left(\overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right) = -\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
On pose I le milieu de \left[ BC \right] et H le pied de la hauteur issue de A.
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}\right) ?
On sait que la somme des angles directs d'un triangle est égale à \pi\left[ 2\pi \right].
Donc, en considérant le triangle ABC, on a :
\left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}\right) + \left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)=\pi\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}\right) =\pi-\left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BA}\right)-\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)\left[ 2\pi \right]
Or, d'après l'énoncé :
- \left(\overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right) = -\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
Comme de plus :
\left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BA}\right) =- \left(\overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right)\left[ 2\pi \right]
On a finalement :
\left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}\right) =\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]=\dfrac{6\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
On peut donc conclure :
\left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}\right) = \dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{AH} ; \overrightarrow{AC}\right) ?
On sait que la somme des angles directs d'un triangle est égale à \pi\left[ 2\pi \right].
Donc, en considérant le triangle AHC, on a :
\left(\overrightarrow{AH} ; \overrightarrow{AC}\right) +\left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CH}\right) +\left(\overrightarrow{HC} ; \overrightarrow{HA}\right) = \pi\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{AH}; \overrightarrow{AC}\right) =\pi - \left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CH}\right) -\left(\overrightarrow{HC} ; \overrightarrow{HA}\right)\left[ 2\pi \right]
Or, dans le triangle direct AHC on a :
- \left(\overrightarrow{CA}; \overrightarrow{CH}\right) =\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{HC}; \overrightarrow{HA}\right) = \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{AH}; \overrightarrow{AC}\right) =\pi - \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2} \left[ 2\pi \right]= \dfrac{6\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6}- \dfrac{3\pi}{6} \left[ 2\pi \right]= \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
On peut donc conclure :
\left(\overrightarrow{AH}; \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{AH} ; \overrightarrow{AB}\right) ?
On sait que la somme des angles directs d'un triangle est égale à \pi\left[ 2\pi \right].
Donc, en considérant le triangle ABH, on a :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AH}\right) +\left(\overrightarrow{HA} ; \overrightarrow{HB}\right) +\left(\overrightarrow{BH} ; \overrightarrow{BA}\right) = \pi\left[ 2\pi \right]
-\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AH}\right) = \left(\overrightarrow{HA} ; \overrightarrow{HB}\right) +\left(\overrightarrow{BH} ; \overrightarrow{BA}\right)-\pi\left[ 2\pi \right]
Or, dans le triangle direct ABH on a :
- \left(\overrightarrow{BH}; \overrightarrow{BA}\right) =\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{HA}; \overrightarrow{HB}\right) = \dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
De plus :
-\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AH}\right) = \left(\overrightarrow{AH} ; \overrightarrow{AB}\right)\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{AH}; \overrightarrow{AB}\right) =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}-\pi\left[ 2\pi \right]=\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{6\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
On peut donc conclure :
\left(\overrightarrow{AH} ; \overrightarrow{AB}\right) = -\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{IA} ; \overrightarrow{IB}\right) ?
Le triangle ABC étant rectangle en A, le milieu I de l'hypoténuse \left[ BC\right] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On en déduit que IA = IB.
Par conséquent, le triangle AIB est isocèle en I donc ses angles à la base sont égaux.
Cela signifie que :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AI}\right) = \left(\overrightarrow{BI} ; \overrightarrow{BA}\right)\left[ 2\pi \right]=\dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
On sait que la somme des angles directs d'un triangle est égale à \pi\left[ 2\pi \right].
Donc, en considérant le triangle ABI :
\left(\overrightarrow{IA} ; \overrightarrow{IB}\right) +\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AI}\right) +\left(\overrightarrow{BI} ; \overrightarrow{BA}\right) = \pi\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{IA} ; \overrightarrow{IB}\right) = \pi -\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AI}\right) -\left(\overrightarrow{BI} ; \overrightarrow{BA}\right)\left[ 2\pi \right]
Soit :
\left(\overrightarrow{IA} ; \overrightarrow{IB}\right) = \pi -\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} \left[ 2\pi \right]= \dfrac {3\pi - \pi - \pi}{3} \left[ 2\pi \right]= \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{IA} ; \overrightarrow{IB}\right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]