Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Démontrer grâce aux angles orientés le parallélisme ou l'orthogonalité

Méthode 1

Démontrer que deux droites sont parallèles

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si (AB;CD)=0+kπ, avec k.

On considère la figure suivante :

-

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si (AB;CD)=0+kπ, avec k.

Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si (AB;CD)=0+kπ, avec k.

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule une mesure de l'angle (AB;CD).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

(AB;CD)=(AB;BE)+(BE;EC)+(EC;CD)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • (AB;BE)=π2
  • (BE;EC)=(BE;EB)+(EB;EC)=π+π4=5π4
  • (EC;CD)=(EC;CE)+(CE;CD)=π3π4=π4

On en déduit qu'une mesure de (AB;CD) est :

(AB;CD)=π2+5π4+π4

Une mesure de (AB;CD) est donc :

(AB;CD)=π

Etape 3

Conclure

Si (AB;CD)=0+kπ, avec k, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

On a :

(AB;CD)=π=0+π [2π]

On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Méthode 2

Démontrer que trois points sont alignés

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si (AB;AC)=0+kπ, avec k.

On considère le carré ABCD, E le milieu de [BD] et BDF un triangle équilatéral.

-

Démontrer, en utilisant les angles orientés, que les points A, E et F sont alignés.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle que trois points A, B et C sont alignés si et seulement si (AB;AC)=0+kπ, avec k.

Les trois points A, E et F sont alignés si et seulement si (AE;AF)=0+kπ, avec k.

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule une mesure de l'angle (AB;AC).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

(AE;AF)=(AE;AD)+(AD;DE)+(DE;EF)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • La droite (AE) est la bissectrice de l'angle (AB;AD), donc (AE;AD)=12(AB;AD)=π4
  • La droite (DE) est la bissectrice de l'angle (DA;DC), donc (DA;DE)=12(DA;DC)=π4. D'où (AD;DE)=(AD;DA)+(DA;DE)=π+π4=5π4
  • (DE;EF)=π2

On en déduit qu'une mesure de (AE;AF) est :

(AE;AF)=π4+5π4+π2

Une mesure de (AE;AF) est donc :

(AE;AF)=2π

Etape 3

Conclure

Si (AB;AC)=0+kπ, avec k, alors les points A, B et C sont alignés.

On a :

(AE;AF)=2π=0+2π [2π]

On en conclut que les droites A, E et F sont alignés.

Méthode 3

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si (AB;CD)=π2+kπ avec k.

On considère la figure suivante :

-

Montrer que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.

Etape 1

Enoncer le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si (AB;CD)=π2+kπ avec k.

Deux droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires si et seulement si (AB;DE)=π2+kπ avec k.

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule l'angle (AB;CD).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

(AB;DE)=(AB;BC)+(BC;CD)+(CD;DE)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • (AB;BC)=(AB;BA)+(BA;BC)=ππ4=3π4
  • (BC;CD)=(BC;CB)+(CB;CD)=π+π3=4π3
  • (CD;DE)=(CD;DC)+(DC;DE)=π7π12=5π12

On en déduit qu'une mesure de (AB;DE) est :

(AB;DE)=3π4+4π3+5π12

Soit :

(AB;DE)=9π12+16π12+5π12

Une mesure de (AB;DE) est donc :

(AB;DE)=30π12

Etape 3

Conclure

Si (AB;CD)=π2+kπ, avec k. Alors les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

On a :

(AB;DE)=24π12+6π12=2π+π2 [2π]

On en conclut que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.

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