Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016
I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de dans .

La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.
  • Pour désigner la suite u, on peut écrire (un).
  • L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u(n).
  • Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un rang n0. Dans ce cas, on écrit (un)nn0 pour désigner la suite u.

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :

un=f(n)

f est une fonction au moins définie sur

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur et un réel a, une suite (un) peut être définie par récurrence par :

  • u0=a
  • pour tout entier n : un+1=f(un)

3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.

Quel que soit le mode de définition d'une suite, il se peut que celle-ci ne soit définie qu'à partir d'un rang n0.

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1un

Considérons la suite (un) définie par récurrence par :

  • u0=12
  • un+1=(un)2+un pour tout entier n

On a, pour tout entier naturel n :

un+1un=(un)2.

Or :

(un)20

Donc, pour tout entier naturel n, on a :

un+1un0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1un

Donc la suite (un) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1>un

Suite décroissante

La suite (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1un

Considérons la suite définie pour tout entier n non nul par :

un=1n

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

un+1un=1n+11n=n(n+1)n(n+1)=1n(n+1)

Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :

1n(n+1)<0

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un0

Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un

Par conséquent la suite (un) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1<un

Suite constante

La suite (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1=un

Suite monotone

La suite (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Représentation graphique

Représentation graphique d'une suite

Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées (n;un)n décrit les entiers naturels pour lesquels un est défini.

On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par un=n21. Les premiers termes de la suite sont donnés dans le tableau suivant :

n01234
un−103815

On obtient la représentation graphique des premiers points de la suite :

-
II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suites arithmétiques

Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n où elle est définie :

un+1=un+r

On considère la suite définie par :

  • u0=1
  • un+1=un2, pour tout entier n

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est ainsi arithmétique.

Raison

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.

  • Si r>0, la suite est strictement croissante.
  • Si r<0, la suite est strictement décroissante.
  • Si r=0, la suite est constante.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit (un) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up+(np)r

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :

un=u0+nr

On considère la suite arithmétique u de raison r=2 et de premier terme u0=3.

On a alors, pour tout entier naturel n : un=32n

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit (un) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale au produit de la demi-somme du premier et du dernier terme par le nombre de termes. En particulier :

u0+u1+u2+...+un=(n+1)(u0+un)2

Soit (un) une suite arithmétique raison r=8 et de premier terme u0=16.

Son terme général est donc un=16+8n.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u0+u1+u2++u25

D'après la formule, on a :

S=(25+1)(u0+u25)2

Soit :

S=26×(16+16+8×25)2=3 016

En particulier, pour tout entier naturel non nul n :

1+2+3+...+n=n(n+1)2

1+2+3++15=15×(15+1)2=120

Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.

On considère la suite arithmétique de premier terme u0=3 et de raison r=1. On constate sur sa représentation graphique que les points sont alignés.

-

Si u est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation y=rx+u0.

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n où elle est définie :

un+1=un×q

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=3un

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est ainsi géométrique.

Raison

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif.

  • Si q>1, la suite (qn) est strictement croissante.
  • Si 0<q<1, la suite (qn) est strictement décroissante.
  • Si q=1, la suite (qn) est constante.

Terme général d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up×qnp

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :

un=u0×qn

On considère une suite u géométrique de raison q=2 et de premier terme u0=3.

On a alors, pour tout entier naturel n : un=3×2n

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de raison q1, définie pour tout entier naturel n :

u0+u1+u2+...+un=u01qn+11q

Plus généralement, pour tout entier naturel p<n :

up+up+1+up+2+...+un=up1qnp+11q

Soit (un) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u0=4.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u0+u1+u2++u25

D'après la formule, on sait que :

S=u0×1q25+11q

Ainsi :

S=4×152615=5261

L'exposant (n+1) apparaissant dans la première formule, ou (np+1) dans le cas général, correspond en fait au nombre de termes de la somme.

En particulier, pour tout réel q différent de 1 et tout entier naturel non nul n :

1+q+q2+...+qn=1qn+11q

1+3+32+33++352=135313=12+12×353

Soit u une suite géométrique de raison q1. Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.

On considère la suite géométrique de raison q=0,5 et de premier terme u0=16. On constate que les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés :

-
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