Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\ln\left(x\right).
Pour tout réel a strictement positif, on définit sur \left]0;+\infty\right[ la fonction g_a par g_a\left(x\right)=ax^2.
On note \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f et \Gamma_a celle de la fonction g_a dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes \mathscr{C} et \Gamma_a suivant les valeurs du réel strictement positif a.
On a construit ci-dessous les courbes \mathscr{C}, \Gamma_{0{,}05}, \Gamma_{0{,}1}, \Gamma_{0{,}19} et \Gamma_{0{,}4}.
Quelle est la courbe correspondant à \Gamma_{0{,}4} ?
En utilisant le graphique, quel semble être le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a selon les valeurs (à préciser) du réel a ?
Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h_a définie sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[ par h_a\left(x\right)=\ln\left(x\right)-ax^2.
Quelle équation liée à h_a vérifie l'abscisse x d'un point M appartenant à l'intersection de \mathscr{C} et \Gamma_a ?
Quel est le tableau de variations de h_a sur \left]0;+\infty\right[ ?
Quelle est la limite de h_a\left(x\right) en +\infty ?
Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a=0{,}19.
Combien de solutions l'équation h_{0{,}19}\left(x\right)=0 admet-elle sur \left]0;+\infty\right[ ?
Quel est le nombre de points d'intersection de \mathscr{C} et de \Gamma_{0{,}19} ?
Dans cette question, et uniquement dans cette question, on suppose que a=\dfrac{1}{e}.
Déterminer la valeur du maximum de h_{\frac{1}{e}}.
Combien y a-t-il de points d'intersection entre les courbes \mathscr{C} et \Gamma_{\frac{1}{e}} ?
Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles \mathscr{C} et \Gamma_a n'ont aucun point d'intersection ?