Résolution d'un problème graphique avec la fonction logarithmeExercice type bac

On considère la fonction f définie sur \left]1;+\infty\right[ par f\left(x\right)=x-\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}.

On note \mathscr{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormal \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Soit g la fonction définie sur \left]1;+\infty\right[ par g\left(x\right)=x^2-1+\ln\left(x\right).

Quel est le signe de g sur \left]1;+\infty\right[ ?

a

Soit x\in \left]1;+\infty\right[.

Quel est le lien entre f'\left(x\right) et g\left(x\right) ?

b

Quel est le tableau de variations de f sur \left]1;+\infty\right[ ?

c

Que représente la droite \mathscr{D} d'équation y=x pour la courbe \mathscr{C} ?

d

Quelle est la position de la droite \mathscr{D} par rapport à la courbe \mathscr{C} ?

Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note M_k et N_k les points d'abscisse k de \mathscr{C} et de \mathscr{D}.

Que vaut la distance M_kN_k ?

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