On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^x+e^{-x}}

Quelle proposition montre que f est une fonction impaire ?

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\left(-x\right)^2\sin\left(-x\right)}{e^{-x}+e^{-\left(-x\right)}}

f\left(-x\right)=\dfrac{-x^2\sin\left(x\right)}{e^{-x}+e^{x}}

f\left(-x\right)=\dfrac{-x^2\sin\left(x\right)}{e^{x}+e^{-x}}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\left(-x\right)^2\sin\left(-x\right)}{e^{-x}+e^{-\left(-x\right)}}

f\left(-x\right)=\dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^{-x}+e^{x}}

f\left(-x\right)=\dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^{x}+e^{-x}}

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\left(-x\right)^2\sin\left(-x\right)}{e^{-x}+e^{-\left(-x\right)}}

f\left(-x\right)=\dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^{-x}+e^{x}}

f\left(-x\right)=\dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^{x}+e^{-x}}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

f est impaire si et seulement si :

Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.

De plus, on a :

\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\left(-x\right)^2\sin\left(-x\right)}{e^{-x}+e^{-x}}

f\left(-x\right)=\dfrac{-x^2\sin\left(x\right)}{e^{-x}+e^{-x}}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

f est une fonction impaire.

Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?

\int_{-1}^{1} \dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^x+e^{-x}} \ \mathrm dx =0

\int_{-1}^{1} \dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^x+e^{-x}} \ \mathrm dx =1

\int_{-1}^{1} \dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^x+e^{-x}} \ \mathrm dx =-1

\int_{-1}^{1} \dfrac{x^2\sin\left(x\right)}{e^x+e^{-x}} \ \mathrm dx =\dfrac{1}{2}