On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(x\right)\left(e^x+e^{-x}\right)}{x^2+2}
Quelle proposition montre que f est une fonction impaire ?
f est impaire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.
De plus, on a :
\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\dfrac{\sin\left(-x\right)\left(e^{-x}+e^{-\left(-x\right)}\right)}{\left(-x\right)^2+2}
Et comme \sin \left(-x\right)=-\sin\left(x\right), et que \left(-x\right)^2=x^2, on a :
f\left(-x\right)=\dfrac{-\sin\left(x\right)\left(e^{-x}+e^{x}\right)}{x^2+2}
f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
f est une fonction impaire.
Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
D'après la relation de Chasles :
A=\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or on sait que f est une fonction impaire. On a donc :
\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx=-\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
A=0
\int_{-1}^{1} \dfrac{\sin\left(x\right)\left(e^x+e^{-x}\right)}{x^2+2} \ \mathrm dx=0