On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)
Quelle proposition montre que f est une fonction paire ?
f est paire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right)
Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.
De plus, on a :
\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^3\sin\left(-x\right)+\left(-x\right)^4\cos\left(-x\right)
Et comme \cos \left(-x\right)=\cos\left(x\right), que \sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right), que \left(-x\right)^3=-x^3 et que \left(-x\right)^4=x^4, on a :
f\left(-x\right)=4\left(-x^3\right)\left(-\sin\left(x\right)\right)+x^4\cos\left(x\right)
f\left(-x\right)=4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)
f\left(-x\right)=f\left(x\right)
f est une fonction paire.
Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
D'après la relation de Chasles :
A=\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or on sait que f est une fonction paire. On a donc :
\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
A=2\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or, en posant :
- u\left(x\right)=x^4
- v\left(x\right)=\sin\left(x\right)
On remarque que f=u'v+uv', d'où une primitive de f est F avec F=u\times v
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{0}^{1} 4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\ \mathrm dx
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \left[ x^4\sin\left(x\right) \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 1^4\sin\left(1\right)-0^4\sin\left(0\right)
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \sin\left(1\right)
Ainsi,
A=2\sin\left(1\right)
\int_{-1}^{1} 4x^3\sin\left(x\right)+x^4\cos\left(x\right)\ \mathrm dx=2\sin\left(1\right)