Calculer une variance et un écart-type Exercice

L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :

E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)

Ici, d'après la loi de probabilité, on obtient :

E\left(X\right)=-2\times\dfrac{1}{4}+2\times\dfrac{1}{8}+3\times\dfrac{3}{8}+5\times\dfrac{1}{4}

E\left(X\right)=-\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{5}{4}

E\left(X\right)=-\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{10}{8}

E\left(X\right)=\dfrac{17}{8}

On peut ensuite calculer la somme intermédiaire :

\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=\left(-2\right)^{2}\times\dfrac{1}{4}+2^{2}\times\dfrac{1}{8}+3^{2}\times\dfrac{3}{8}+5^{2}\times\dfrac{1}{4}

\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=1+\dfrac{4}{8}+\dfrac{27}{8}+\dfrac{25}{4}

\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=\dfrac{8}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{27}{8}+\dfrac{50}{8}

\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=\dfrac{89}{8}

On peut enfin calculer la variance :

V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2

V\left(X\right)=\dfrac{89}{8}-\left(\dfrac{17}{8}\right)^{2}

V\left(X\right)=\dfrac{712}{64}-\dfrac{289}{64}

V\left(X\right)=\dfrac{423}{64}