On donne la loi de probabilité suivante :
| x_i | 10 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Quelle est la valeur de la variance V\left(X\right) ?
La variance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
Calcul de l'espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
Ici, d'après la loi de probabilité, on obtient :
E\left(X\right)=10\times0{,}5+12\times0{,}2+15\times0{,}3
E\left(X\right)=5+2{,}4+4{,}5
E\left(X\right)=11{,}9
Calcul de la somme intermédiaire
On peut ensuite calculer la somme intermédiaire :
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=10^{2}\times0{,}5+12^{2}\times0{,}2+15^{2}\times0{,}3
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=100\times0{,}5+144\times0{,}2+225 \times0{,}3
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=50+28{,}8+67{,}5
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=146{,}3
Calcul de la variance
On peut enfin calculer la variance :
V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
V\left(X\right)=146{,}3-\left(11{,}9\right)^{2}
V\left(X\right)=146{,}3-141{,}61
V\left(X\right)=4{,}69
V\left(X\right)=4{,}69
Quelle est la valeur de l'écart-type \sigma\left(X\right) ?
On a :
\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
Ainsi, d'après la question précédente, on obtient :
\sigma\left(X\right)=\sqrt{4{,}69}
\sigma\left(X\right)\approx2{,}17