On donne la loi de probabilité suivante :
| x_i | 1 | 2 | 5 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \dfrac{1}{5} | \dfrac{1}{20} | \dfrac{1}{2} | \dfrac{3}{20} | \dfrac{1}{10} |
Quelle est la valeur de la variance V\left(X\right) ?
La variance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
Calcul de l'espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
Ici, d'après la loi de probabilité, on obtient :
E\left(X\right)=1\times\dfrac{1}{5}+2\times\dfrac{1}{20}+5\times\dfrac{1}{2}+6\times\dfrac{3}{20}+10\times\dfrac{1}{10}
E\left(X\right)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{20}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{18}{20}+\dfrac{10}{10}
E\left(X\right)=\dfrac{2}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{25}{10}+\dfrac{9}{10}+\dfrac{10}{10}
E\left(X\right)=\dfrac{47}{10}
Calcul de la somme intermédiaire
On peut ensuite calculer la somme intermédiaire :
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=1^2\times\dfrac{1}{5}+2^2\times\dfrac{1}{20}+5^2\times\dfrac{1}{2}+6^2\times\dfrac{3}{20}+10^2\times\dfrac{1}{10}
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=1\times\dfrac{1}{5}+4\times\dfrac{1}{20}+25\times\dfrac{1}{2}+36\times\dfrac{3}{20}+100\times\dfrac{1}{10}
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{20}+\dfrac{25}{2}+\dfrac{108}{20}+\dfrac{100}{10}
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=\dfrac{2}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{125}{10}+\dfrac{54}{10}+\dfrac{100}{10}
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=\dfrac{283}{10}
Calcul de la variance
On peut enfin calculer la variance :
V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
V\left(X\right)=\dfrac{283}{10}-\left(\dfrac{47}{10}\right)^2
V\left(X\right)=\dfrac{2\ 830}{100}-\dfrac{2\ 209}{100}
V\left(X\right)=\dfrac{2\ 830}{100}-\dfrac{2\ 209}{100}
V\left(X\right)=\dfrac{621}{100}
V\left(X\right)=\dfrac{621}{100}
Quelle est la valeur de l'écart-type \sigma\left(X\right) ?
On a :
\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
Ainsi, d'après la question précédente, on obtient :
\sigma\left(X\right)=\sqrt{\dfrac{621}{100}}
\sigma\left(X\right)=\dfrac{\sqrt{621}}{\sqrt{100}}
\sigma\left(X\right)=\dfrac{\sqrt{621}}{10}