Soit la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{4-3\sqrt x}{3+x}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x positif, u\left(x\right)=4-3\sqrt x et v\left(x\right)=3+x.
u et v sont dérivables sur \left]0;+\infty\right[ et, pour tout réel x strictement positif, on a : u'\left(x\right)=-\dfrac3{2\sqrt x} et v'\left(x\right)=1.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{-\dfrac3{2\sqrt x}\left(3+x\right)-\left(4-3\sqrt x\right)}{\left(3+x\right)^2}&\\&=\dfrac{\dfrac{-3\left(3+x\right)-\left(4-3\sqrt x\right)2\sqrt x}{2\sqrt x}}{\left(3+x\right)^2}&\\&=\dfrac{\dfrac{-9-3x-8\sqrt x+6x}{2\sqrt x}}{\left(3+x\right)^2}&\\&=\dfrac{3x-8\sqrt x-9}{2\sqrt x}\times\dfrac{1}{\left(3+x\right)^2}\\&=\dfrac{3x-8\sqrt x-9}{2\sqrt x\left(3+x\right)^2}\end{aligned}
Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac{3x-8\sqrt x-9}{2\sqrt x\left(3+x\right)^2}
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-1\} par f\left(x\right)=\dfrac{4x^2+3}{x+1} ?
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac25\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{9-7x}{5x+2} ?
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[\backslash\{\sqrt3\} par f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt x}{x^2-3} ?
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac57\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{7x-5}{7x+5} ?
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{0\} par f\left(x\right)=\dfrac{x^2+100}{x} ?