On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac34\right\} par f\left(x\right)=\dfrac1{4x-3}.
f est-elle dérivable en 0 ?
Soit h un nombre réel non nul.
D'après le cours, f est dérivable en a si et seulement si \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=l\in\mathbb{R}. Dans ce cas, f'(a)=l.
Calculons le taux d'accroissement \tau_{0}=\dfrac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h} :
\begin{aligned}\tau_{0}&=\dfrac{\dfrac{1}{4h-3}-\dfrac{1}{-3}}{h}\\&= \dfrac{\dfrac{-3-4h+3}{-12h+9}}{h}\\&=\dfrac{-4h}{h\left(-12h+9\right)}\\&=\dfrac{-4}{-12h+9}\\\end{aligned}
Or, \lim\limits_{h\to0}\dfrac{-4}{-12h+9}=-\dfrac49, et -\dfrac49\in\mathbb{R}.
f est dérivable en 0 et f'\left(0\right)=-\dfrac49.
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x^3-x+4 est-elle dérivable en 0 ?
La fonction f définie sur \left[2;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{2-x} est-elle dérivable en 2 ?
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=|x+1| est-elle dérivable en 1 ?
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+5x-1 est-elle dérivable en 10 ?
La fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac12\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{3x+5}{2x+1} est-elle dérivable en -2 ?