Etudier une loi de probabilité continue quelconque Exercice

Soit k un réel et f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2+k}\)

Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?

Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.

Quelle est la valeur de \(\displaystyle{p\left(X\leqslant\dfrac{1}{2}\right)}\) ?

Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \(\displaystyle{\left[ a,b \right]}\) est donnée par la formule :

\(\displaystyle{E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Quelle est la valeur de \(\displaystyle{E\left(X\right)}\) ?

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