Soit k un réel et f la fonction définie sur \left[ 1;2 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+k
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto \dfrac{1}{x}+k est continue sur \left[ 1;2 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x}+k sur \left[ 1;2 \right] est x \longmapsto \ln\left(x\right)+kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{1}^{2} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{2}\left( \dfrac{1}{x}+k \right) \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(x\right)+kx \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} f\left( x \right) \ \mathrm dx= \left( \ln\left(2\right)+2k \right)- \left( \ln\left(1\right)+k \right)
\int_{1}^{2} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\ln\left(2\right)+k car \ln\left(1\right)=0
Donc, \int_{1}^{2} f\left( x \right) \ \mathrm dx=1 si et seulement si \ln\left(2\right)+k=1 soit si et seulement si k=1-\ln\left(2\right).
Signe de f
Posons alors k= 1-\ln\left(2\right).
On obtient, pour tout x appartenant à \left[ 1;2 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+1-\ln\left(2\right).
Or :
1-\ln\left(2\right)\approx0{,}3\geqslant0
On a donc bien f\left(x\right)\geq0 sur \left[ 1;2 \right].
Si k=1-\ln\left(2\right), f est une densité de probabilité.
Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left(X\leqslant\dfrac{3}{2}\right) ?
La densité f de X est définie sur \left[ 1;2 \right], et, pour tout x appartenant à \left[ 1;2 \right] :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+1-\ln\left(2\right).
Ainsi :
p\left( X\leq\dfrac{3}{2}\right)=\int_{1}^{\frac{3}{2}}\left( \dfrac{1}{x}+1-\ln\left(2\right) \right) \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x}+1-\ln\left(2\right) sur \left[ 1;2 \right] est x \longmapsto \ln\left(x\right)+x\left(1- \ln\left(2\right)\right) :
p\left( X\leq\dfrac{3}{2}\right)=\left[ \ln\left(x\right)+x\left(1- \ln\left(2\right)\right) \right]_{1}^{\frac{3}{2}}
p\left( X\leq\dfrac{3}{2}\right)=\left( \ln\left(\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}\left(1- \ln\left(2\right)\right) \right)-\left( \ln\left(1\right)+\left(1- \ln\left(2\right)\right) \right)
p\left( X\leq\dfrac{3}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2} \ln\left(2\right)-1+ \ln\left(2\right) car \ln\left(1\right)=0
p\left( X\leq\dfrac{3}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \ln\left(2\right)
On peut donc conclure à l'aide de la calculatrice :
p\left(X\leqslant\dfrac{3}{2}\right)\approx0{,}56
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On a :
E\left(X\right)=\int_{1}^{2} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{1}^{2} x\left( \dfrac{1}{x}+1-\ln\left(2\right) \right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{1}^{2} \left(1+x\left(1- \ln\left(2\right) \right) \right)\ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto 1+x\left(1- \ln\left(2\right) \right) sur \left[ 1;2 \right] étant x+\dfrac{x^2}{2}\left(1- \ln\left(2\right) \right) :
E\left(X\right)=\left[ x+\dfrac{x^2}{2}\left(1- \ln\left(2\right) \right) \right]_{1}^{2}
E\left(X\right)=\left( 2+\dfrac{2^2}{2}\left(1- \ln\left(2\right) \right) \right)-\left( 1+\dfrac{1^2}{2}\left(1- \ln\left(2\right) \right) \right)
E\left(X\right)=2+2-2\ln\left(2\right)-1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln\left(2\right)}{2}
E\left(X\right)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{3\ln\left(2\right)}{2}
On peut alors conclure à l'aide de la calculatrice :
E\left(X\right)\approx 1{,}46