Soit k un réel et f la fonction définie sur \left[ -1;1 \right] par :
f\left(x\right)=-\dfrac{1}{6}x+k
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto -\dfrac{1}{6}x+k est continue sur \left[ -1;1 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto -\dfrac{1}{6}x+k sur \left[ -1;1 \right] est x \longmapsto -\dfrac{x^2}{12}+kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\int_{-1}^{1} \left( -\dfrac{1}{6}x+k \right)\ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{x^2}{12}+kx \right]_{-1}^{1}
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx= \left( -\dfrac{1^2}{12}+k \right)- \left( -\dfrac{\left(-1\right)^2}{12}-k \right)
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = \left( -\dfrac{1}{12}+k \right)- \left( -\dfrac{1}{12}-k \right)
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = -\dfrac{1}{12}+k+\dfrac{1}{12}+k
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = 2k
Donc, \int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=1 si et seulement si 2k=1 soit k=\dfrac{1}{2}.
Signe de f
Posons alors k=\dfrac{1}{2}.
On obtient, pour tout x appartenant à \left[ -1;1 \right], f\left(x\right)=-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2}.
On vérifie que f\left(x\right)\geq0 sur \left[ -1;1 \right] :
-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2}\geq0
\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}x\geq -\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow x\leq 3
On a bien f\left(x\right)\geq0 sur \left[ -1;1 \right].
Si k=\dfrac{1}{2}, f est une densité de probabilité.
Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left(X\leqslant0\right) ?
La densité f de X est définie sur \left[ -1;1 \right], et, pour tout x appartenant à \left[ -1;1 \right] :
f\left(x\right)=-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2}.
Ainsi :
p\left( X\leq0\right)=\int_{-1}^{0}\left( -\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2}\right) \ \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto -\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2} sur \left[ -1;1 \right] est x \longmapsto -\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{x}{2} :
p\left( X\leq0\right)=\left[ -\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{x}{2} \right]_{-1}^{0}
p\left( X\leq0\right)= \left( -\dfrac{0^2}{12}+\dfrac{0}{2} \right)- \left( -\dfrac{\left(-1\right)^2}{12}+\dfrac{\left(-1\right)}{2} \right)
p\left( X\leq0\right)= - \left( -\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2} \right)
On peut donc conclure :
p\left(X\leqslant0\right)= \dfrac{7}{12}
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On a :
E\left(X\right)=\int_{-1}^{1} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{-1}^{1} x\left( -\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2} \right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{-1}^{1} \left( -\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x}{2}\right) \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto -\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x}{2} sur \left[ -1;1 \right] étant x \longmapsto -\dfrac{x^3}{18}+\dfrac{x^2}{4} :
E\left(X\right)=\left[ -\dfrac{x^3}{18}+\dfrac{x^2}{4}\right]_{-1}^{1}
E\left(X\right)=\left( -\dfrac{1^3}{18}+\dfrac{1^2}{4} \right)-\left( -\dfrac{\left(-1\right)^3}{18}+\dfrac{\left(-1\right)^2}{4} \right)
E\left(X\right)=\left( -\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{4} \right)-\left( \dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{4} \right)
E\left(X\right)=-\dfrac{1}{18} -\dfrac{1}{18}
On peut alors conclure :
E\left(X\right)= -\dfrac{1}{9}