Montrer qu'une suite est bornée Exercice

On vérifie que la suite \left(u_{n}\right) est minorée.

Pour tout n de \mathbb{N}, on sait que n\geqslant0 et 3n^2+1\geqslant0 donc \dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant0 et par suite 2\dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant0.

Par conséquent u_{n}\geqslant0 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

On vérifie que la suite \left(u_{n}\right) est majorée.

Pour tout n de \mathbb{N}, on sait que n\geqslant0, n\leqslant3n^2+1 et donc \dfrac{n}{3n^2+1}\leqslant1 d'où 2\dfrac{n}{3n^2+1}\leqslant2.

On a donc pour tout n\geqslant0, u_{n}\leqslant2.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0 et majorée par 2, elle est donc bornée.

On vérifie que la suite \left(u_{n}\right) est minorée.

Pour tout n de \mathbb{N}, on sait que n\geqslant0 et 3n^2+1\geqslant0 donc \dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant1 et par suite 2\dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant2.

Par conséquent u_{n}\geqslant2 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 2.

On vérifie que la suite \left(u_{n}\right) est majorée.

Pour tout n de \mathbb{N}, on sait que n\geqslant0, n\leqslant3n^2+1 et donc \dfrac{n}{3n^2+1}\leqslant1 d'où 2\dfrac{n}{3n^2+1}\leqslant2.

On a donc pour tout n\geqslant0, u_{n}\leqslant2.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 2 et majorée par 2, elle est donc bornée.

On vérifie que la suite \left(u_{n}\right) est minorée.

Pour tout n de \mathbb{N}, on sait que n\geqslant0 et 3n^2+1\geqslant0 donc \dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant0 et par suite 2\dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant0.

Par conséquent u_{n}\geqslant0 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

On vérifie que la suite \left(u_{n}\right) est majorée.

Pour tout n de \mathbb{N}, on sait que n\geqslant0, n\leqslant3n^2+1 et donc \dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant1 d'où 2\dfrac{n}{3n^2+1}\geqslant2.

On a donc pour tout n\geqslant0, u_{n}\geqslant2.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0 et majorée par 2, elle est donc bornée.

On vérifie que \left(u_{n}\right) est minorée.

\forall n\in \mathbb{N} , n+1 \lt n+2 et \dfrac {n+1}{n+2} \lt 1 et -\dfrac {n+1}{n+2} \gt -1

D'où \forall n\in \mathbb{N}, u_{n} \gt -1. Ainsi la suite \left(u_{n}\right) est minorée par −1.

On vérifie que \left(u_{n}\right) est majorée.

\forall n\in \mathbb{N}, n+1 \gt 0 et n+2 \gt 0 . D'où \dfrac {n+1}{n+2} \gt 0. Ainsi -\dfrac {n+1}{n+2} \lt 0 et u_{n} \lt 0. La suite \left(u_{n}\right) est majorée par 0.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est donc bornée puisqu'elle est majorée et minorée.

On vérifie que \left(u_{n}\right) est majorée.

\forall n\in \mathbb{N} , n+1 \lt n+2 et \dfrac {n+1}{n+2} \lt 1. D'où \forall n\in \mathbb{N}, u_{n} \lt 1. Ainsi la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 1.

On vérifie que \left(u_{n}\right) est minorée.

\forall n\in \mathbb{N}, n+1 \gt 0 et n+2 \gt 0 . D'où \dfrac {n+1}{n+2} \gt 0. Ainsi u_{n} \gt 0. La suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est donc bornée puisqu'elle est majorée et minorée.

On vérifie que \left(u_{n}\right) est minorée.

\forall n\in \mathbb{N} , n+1 \lt n+2 et \dfrac {n+1}{n+2} \lt 1 et -\dfrac {n+1}{n+2} \gt -1

D'où \forall n\in \mathbb{N}, u_{n} \gt -1. Ainsi la suite \left(u_{n}\right) est minorée par −1.

On vérifie que \left(u_{n}\right) est majorée.

\forall n\in \mathbb{N}, n+1 \gt 0 et n+2 \gt 0 . D'où \dfrac {n+1}{n+2} \gt 0. Ainsi u_{n} \gt 0. La suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) n'est donc pas bornée puisqu'elle est uniquement minorée.

Montrons que \left(u_{n}\right) est minorée par 3.

On calcule u_{n}-3=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^2+n}-3=\dfrac{3n^2+3n+1-3\left(n^2+n\right)}{n^2+n}=\dfrac{1}{n^2+n}

Or \forall n\in\mathbb{N} , n^2+n \gt 0 d'où \dfrac{1}{n^2+n} \gt 0 soit u_{n}-3 \gt 0. Ainsi \forall n\in\mathbb{N}, u_{n} \gt 3 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 3.

Montrons que \left(u_{n}\right) est majorée par 4.

On calcule u_{n}-4=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^2+n}-4=\dfrac{3n^2+3n+1-4\left(n^2+n\right)}{n^2+n}=\dfrac{-n^2-n+1}{n^2+n}

Si n\geqslant1, on a -n^2-n+1 \lt 0 et n^2+n \gt 0 d'où \dfrac{-n^2-n+1}{n^2+n} \lt 0.

Ainsi u_{n}-4 \lt 0 et u_{n} \lt 4 et la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 4.

Conclusion: comme la suite \left(u_{n}\right) est majorée et minorée. Elle est donc bornée.

Montrons que \left(u_{n}\right) est minorée par 3.

On calcule u_{n}-3=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^2+n}-3=\dfrac{3n^2+3n+1-3\left(n^2+n\right)}{n^2+n}=\dfrac{1}{n^2+n}

Or \forall n\in\mathbb{N} , n^2+n \gt 0 d'où \dfrac{1}{n^2+n} \gt 0 soit u_{n}-3 \gt 0. Ainsi \forall n\in\mathbb{N}, u_{n} \gt 3 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 3.

Montrons que \left(u_{n}\right) est majorée par 4.

On calcule u_{n}-4=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^2+n}-4=\dfrac{3n^2+3n+1-4\left(n^2+n\right)}{n^2+n}=\dfrac{-n^2-n+1}{n^2+n}

Si n\geqslant1, on a -n^2-n+1 \gt 0 et n^2+n \gt 0 d'où \dfrac{-n^2-n+1}{n^2+n} \gt 0.

Ainsi u_{n}-4 \gt 0 et u_{n} \gt 4 et la suite \left(u_{n}\right) est minoée par 4.

Conclusion: comme la suite \left(u_{n}\right) est minorée. Elle n'est donc pas bornée.

On calcule u_{n}-3=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^2+n}-3=\dfrac{3n^2+3n+1-3\left(n^2+n\right)}{n^2+n}=\dfrac{1}{n^2+n}

Or \forall n\in\mathbb{N} , n^2+n \gt 0 d'où \dfrac{1}{n^2+n} \gt 0 soit u_{n}-3 \gt 0. Ainsi \forall n\in\mathbb{N}, u_{n} \lt 3 et la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 3.

On calcule u_{n}-4=\dfrac{3n^2+3n+1}{n^2+n}-4=\dfrac{3n^2+3n+1-4\left(n^2+n\right)}{n^2+n}=\dfrac{-n^2-n+1}{n^2+n}

Si n\geqslant1, on a -n^2-n+1 \gt 0 et n^2+n \gt 0 d'où \dfrac{-n^2-n+1}{n^2+n} \gt 0.

Ainsi u_{n}-4 \gt 0 et u_{n} \gt 4 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 4.

Conclusion: comme la suite \left(u_{n}\right) est majorée et minorée. Elle est donc bornée.

On sait que \forall n\in\mathbb{N}, n^2\geqslant0 et n^2+5\geqslant5 d'où \dfrac{n^2}{n^2+5}\geqslant0.

Ainsi \forall n\in\mathbb{N}, u_{n}\geqslant0 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

\forall n\in\mathbb{N}, n^2+5\geqslant n^2 et donc \dfrac{n^2}{n^2+5}\leqslant1 soit u_{n}\leqslant1 et la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 1.

La suite \left(u_{n}\right) est donc majorée et minorée. Elle est donc bornée.

On sait que \forall n\in\mathbb{N}, n^2\geqslant0 et n^2+5\geqslant5 d'où \dfrac{n^2}{n^2+5}\geqslant0.

Ainsi \forall n\in\mathbb{N}, u_{n}\geqslant0 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

\forall n\in\mathbb{N}, n^2+5\geqslant n^2 et donc \dfrac{n^2}{n^2+5}\geqslant1 soit u_{n}\geqslant1 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 1.

La suite \left(u_{n}\right) est donc minorée. Elle n'est donc pas bornée.

On sait que \forall n\in\mathbb{N}, n^2\geqslant0 et n^2+5\geqslant5 d'où \dfrac{n^2}{n^2+5}\geqslant1.

Ainsi \forall n\in\mathbb{N}, u_{n}\geqslant1 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 1.

\forall n\in\mathbb{N}, n^2+5\geqslant n^2 et donc \dfrac{n^2}{n^2+5}\leqslant1 soit u_{n}\leqslant1 et la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 1.

La suite \left(u_{n}\right) est donc majorée et minorée. Elle est donc bornée.