On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=3x^2+2x+4
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=x+3 ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc à déterminer les tangentes à C_f de coefficient directeur 1.
Or le coefficient directeur de la tangente à C_f à un point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) vaut f'\left(a\right).
On doit donc résoudre l'équation f'\left(x\right)=1.
Or, pour tout réel x, on a :
f'\left(x\right)=6x+2
Ainsi, on résout :
f'\left(x\right)=1
\Leftrightarrow 6x+2=1
\Leftrightarrow 6x=-1
\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6}
Finalement, la seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=x+3 est la tangente au point d'abscisse -\dfrac{1}{6}.
Cette tangente a pour équation :
y=f'\left(-\dfrac{1}{6}\right)\left(x-\left(-\dfrac{1}{6}\right)\right)+f\left(-\dfrac{1}{6}\right)
Avec :
- f'\left(-\dfrac{1}{6}\right)=6\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)+2=-1+2=1
- f\left(-\dfrac{1}{6}\right)=3\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2+2\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)+4=3\times\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{12}+\dfrac{48}{12}=\dfrac{45}{12}=\dfrac{15}{4}
y=1\left(x+\dfrac{1}{6}\right)+\dfrac{15}{4}
y=x+\dfrac{1}{6}+\dfrac{15}{4}
y=x+\dfrac{2}{12}+\dfrac{45}{12}
y=x+\dfrac{47}{12}
La seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=x+3 est la tangente au point d'abscisse -\dfrac{1}{6}, elle a pour équation y=x+\dfrac{47}{12}.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=4x^2-x+2
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle tangente à C_f est parallèle à la droite d'équation y=-x+3 ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-x^2+5x+4
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle tangente à C_f est parallèle à la droite d'équation y=3x+1 ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^2+x-3
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle tangente à C_f est parallèle à la droite d'équation y=4x ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=4x^2-x+3
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelles tangentes à C_f passent par le point A\left(0;2\right) ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2-2
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelles tangentes à C_f passent par le point A\left(1;-1\right) ?