Un joueur joue à la roulette. Il mise 5 euros sur le numéro 2 et gagne 50 euros si le numéro 2 sort. Il perd sa mise dans les 36 autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Quelle est la loi de X ?
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
On cherche tout d'abord les valeurs possibles de X.
D'après l'énoncé on sait que le joueur mise 5 euros. X peut donc valoir :
- 50-5=45, si le numéro 2 sort.
- 0-5=-5, si le numéro 2 ne sort pas.
On cherche à présent les probabilités de p\left(X=45\right) et p\left(X=-5\right).
Le joueur gagne 45 euros si le numéro 2 sort. Or dans une roulette, il y a au total 37 numéros.
La probabilité que le numéro 2 sorte est de \cfrac{1}{37}. Donc :
p\left(X=45\right)=\cfrac{1}{37}
Le joueur perd 5€ si le numéro 2 ne sort pas.
La probabilité que le numéro 2 ne sorte pas est de \cfrac{36}{37}. Donc :
p\left(X=-5\right)=\cfrac{36}{37}
À présent on peut déterminer la loi de de probabilité de X, grâce au tableau ci-dessous.
| x_i | -5 | 45 |
|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \cfrac{36}{37} | \cfrac{1}{37} |
Le jeu est-il équitable ?
Pour savoir si le jeu est équitable ou non, on doit calculer l'espérance de X.
D'après le cours on sait que l'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule suivante :
E\left(X\right)=\sum x_ip\left(X=x_i\right), donc d'après la question précédente :
E\left(X\right)=-5\times p\left(X=-5\right)+45\times p\left(X=45\right)
E\left(X\right)=-5\times \cfrac{36}{37}+45\times \cfrac{1}{37}
E\left(X\right)=- \cfrac{180}{37}+ \cfrac{45}{37}
E\left(X\right)=- \cfrac{135}{37}
On a donc :
E\left(X\right) \lt 0
Or, le jeu est équitable, si l'espérance de X est nulle.
Pour ce jeu, on a donc une espérance négative, le jeu est donc défavorable au joueur.
- Le jeu n'est donc pas équitable.
Comment rendre le jeu équitable en modifiant la mise ?
Pour avoir le jeu équitable, il faut trouver l'espérance de X nulle.
Or, ici E\left(X\right)=-\cfrac{135}{37}
Il faut donc enlever à la mise de départ, \cfrac{135}{37}\approx3{,}65, soit environ 3 euros et 65 centimes.
Soit une nouvelle mise de départ de :
5-\cfrac{135}{37}=\cfrac{185-135}{37}=\cfrac{50}{37}\approx 1{,}35
Avec cette nouvelle mise de départ, on obtient :
E\left(X\right)=-\cfrac{135}{37}+\cfrac{135}{37}=0
En moyenne le joueur ne perdra pas d'argent et n'en gagnera pas.
- Il faut donc une mise de départ d'environ 1 euro et 35 centimes pour avoir un jeu équitable.