Soit ABC un triangle tel que BC = a, AB = c et AC = b.
La hauteur du triangle ABC est issue de A.
On note H le pied de cette hauteur (le point d'intersection de cette hauteur et de [BC] ).
On note HB = x et on note AH = h .
Dans le triangle AHB , comment s'écrit c^2 en fonction de x et de h ?
H est une hauteur du triangle ABC , issue de A . Par définition, elle est perpendiculaire à [BC] , donc le triangle ABH est un triangle rectangle.
On peut appliquer le théorème de Pythagore en remarquant que [AB] est l'hypothénuse du triangle :
AB^2 = AH^2 + HB^2 = h^2 + x^2
Ainsi :
c^2 = x^2 + h^2
Dans le triangle AHC , que peut-on dire de b^2 ?
Le triangle AHC est également un triangle rectangle. AC est l'hypothénuse.
Ainsi :
AC^2 = AH^2 + HC^2 = h^2 + HC^2 = c^2 - x^2 + HC^2
Or :
HC = a - x
Donc :
HC^2 = (a-x)^2 = a^2 - 2 \times a \times x + x^2
Donc :
AC^2 = c^2 + a^2 - 2 \times a \times x
Ainsi :
b^2 = c^2 + a^2 - 2 \times x \times a
Quel est le cosinus de l'angle aigu \widehat{ABC} ?
On remarque que \widehat{ABC} = \widehat{ABH} .
Or, dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est le rapport des longueurs du côté adjacent sur l'hypothénuse.
Ainsi :
\cos(\widehat{ABC}) = \cos(\widehat{ABH}) = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{x}{c}
Donc :
\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{x}{c}
Comment s'écrit b^2 en fonction de a , c , cos(\widehat{ABC}) ?
Comme \cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{x}{c} , on déduit x = c \times \cos(\widehat{ABC}) .
Or :
b^2 = c^2 + a^2 - 2 \times x \times a
En remplaçant x par sa valeur, on obtient donc :
b^2 = c^2 + a^2 - 2 \times a \times c \times \cos(\widehat{ABC})