Résoudre des problèmes de géométrieCours

I

La géométrie dans un triangle

Les triangles (non plats) sont définis par trois points non alignés. On peut définir des droites remarquables dans un triangle et calculer son aire. On peut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles.

A

Généralités

On rappelle la définition de quelques droites remarquables dans un triangle non plat : les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices.

1

Les hauteurs d'un triangle

Hauteur d'un triangle

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.

définition hauteur triangle

Une des hauteurs peut être située à l'extérieur du triangle.

hauteur triangle situé extérieur
2

Les médianes d'un triangle

Médiane d'un triangle

Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.

définition médiane triangle
3

Les médiatrices d'un triangle

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.

Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.

définition médiatrice segment
4

Les bissectrices d'un triangle

Bissectrice d'un angle

La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles de même mesure.

Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

définition bissectrice angle
B

Les triangles rectangles

Si ABC est triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.

propriétés triangle rectangle

Réciproquement, si la longueur de la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.

cercle circonscrit triangle rectangle diamètre hypoténuse

Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.

C

Les fonctions trigonométriques

Formule trigonométrique

Soit ABC un triangle rectangle en B. On appelle \alpha l'angle BAC. On définit les fonctions trigonométriques par les formules suivantes :

  • \cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{AC}
  • \sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AC}
  • \tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}
définitions fonctions trigonométriques triangle

On peut ainsi obtenir les formules :

AB = AC \times \cos(\alpha) \quad \text{et} \quad BC = AC \times \sin(\alpha)

Soient ABC un triangle rectangle en B et \alpha l'angle BAC. On a :

\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1

On sait que AB = AC \times \cos(\alpha) et BC = AC \times \sin(\alpha).
Or, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC^2 = AB^2 + BC^2

Ainsi :
AC^2 = (AC\times \cos(\alpha))^2 + (AC \times \sin(\alpha))^2 = AC^2 \cos^2(\alpha) + AC^2 \sin^2(\alpha)

En simplifiant tout par AC^2, on retrouve :
1 = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)

II

Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite

Le projeté orthogonal d'un point est une notion géométrique qui a des applications concrètes dans de nombreux domaines en science. En effet, le projeté orthogonal permet de minimiser la distance entre un point et une droite. Grâce à cette propriété, le projeté orthogonal permet de résoudre des problèmes d'optimisation.

Projeté orthogonal d'un point

Soient \Delta une droite du plan et M un point du plan. On définit le projeté orthogonal d'un point M sur la droite \Delta comme étant le point M' tel que MM' soit perpendiculaire à \Delta.

définition projeté orthogonal point

Si M est déjà sur \Delta, alors son projeté M' est le même point que M.

Le projeté orthogonal du point M sur une droite \Delta est le point de \Delta le plus proche de M.

On donne la démonstration de cette propriété.

Soient \Delta une droite, M un point du plan, et M' le projeté de M sur la droite \Delta. Soit un point A quelconque de \Delta différent de M'. Ainsi, quel que soit A sur la droite \Delta, il faut montrer que la distance AM est plus grande que la distance M'M. Autrement dit, il faut montrer que pour tout point A du plan}, AM \geq M'M.

Si jamais M est sur la droite \Delta, alors M' et M sont les mêmes points, donc M'M = 0, et ainsi il est clair que AM est une longueur plus grande que M'M.

démonstration propriété projeté orthogonal

Si M n'est pas sur la droite \Delta, alors le triangle AMM' n'est pas plat. De plus, ce triangle est rectangle en M' et d'hypoténuse AM. D'après le théorème de Pythagore, on a donc :

-

AM'^2 + MM'^2 = AM^2

Ainsi, puisque AM'^2 \geq 0, on a :
AM^2 = AM'^2 + MM'^2 \geq 0 + MM'^2

On obtient :
AM^2 \geq MM'^2

Puisque AM et MM' sont des longueurs, ce sont des nombres réels positifs, donc on obtient finalement :
AM \geq MM'

C'est ce que l'on voulait démontrer.

On peut remarquer avec la figure suivante que le point qui minimise la distance entre MM' est sur le cercle \mathcal{C} de centre M tangent à la droite \Delta.

-

On voit que MM'=BM et AM = AB + BM donc AM est plus grand que MM'.

III

Les quadrilatères

Il existe différents quadrilatères qui ont des propriétés particulières : le parallélogramme, le losange, le rectangle et le carré.

A

Le parallélogramme

Parallélogramme

Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

  • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
  • Deux des sections côtés sont parallèles et de même longueur.
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu.
définition parallélogramme
B

Le losange

Losange

Un quadrilatère convexe est un losange si et seulement si tous ces côtés sont de même longueur.

définition losange

Un parallélogramme est un losange si et seulement si l'une des propriétés suivante est vérifiée :

  • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur.
  • Ses diagonales sont perpendiculaires.
C

Le rectangle

Rectangle

Un quadrilatère est un rectangle si et seulement s'il possède trois angles droits.

définition rectangle

Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

  • Un de ses angles est droit.
  • Ses diagonales sont de même longueur.
D

Le carré

Carré

Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle, alors ce quadrilatère est un carré.

définition carré
IV

Les aires et les volumes

Certaines formules permettent de calculer les aires des polygones et les volumes des polyèdres les plus simples.

A

Les aires

1

L'aire du quadrilatère

L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur :

A = B \times h

2

L'aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une hauteur par la longueur de la base correspondante.

propriétés aire triangle

Avec b la longueur de sa base et h la longueur de sa hauteur, en notant A l'aire du triangle, on obtient ainsi la formule :

A = \frac{h \times b }{2}

Un triangle possédant trois hauteurs, il existe trois calculs possibles de son aire.

Les triangles ABC et BCD sont de même aire (car en rotation). Mais ABCD est un parallélogramme, donc l'aire du triangle ABC est la moitié de l'aire du parallélogramme, ce qui explique le facteur \frac{1}{2} dans la formule de l'aire du triangle.

triangle trois hauteurs trois calculs possibles aire
3

L'aire du trapèze

L'aire A d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la hauteur par la somme des bases :

A = \frac{h(b + B)}{2}

propriétés aire trapèze

On peut comprendre cette formule à l'aide de la figure suivante. En effet, le parallélogramme DKLC est formé de deux trapèzes ABCD et BAKL qui sont de même aire.

parallélogramme formé deux trapèzes
4

L'aire d'un disque

L'aire A d'un disque de rayon R est égale à :

A= \pi R^2

-
B

Les volumes

1

Le volume d'un parallélépipède

Le volume V d'un parallélépipède rectangle est égal à :

V = L \times l \times h

formule volume parallélépipède
2

Le volume d'une pyramide

Le volume V d'une pyramide est égal à :

V = \frac{1}{3} \times h \times B

formule volume pyramide
3

Le volume d'un cylindre

Le volume V d'un cylindre de révolution est égal à :

V = h \times \pi R^2

formule volume cylindre
4

Le volume d'un cône

Le volume V d'un cône de révolution est égal à :

V = \frac{1}{3} \times h \times \pi R^2

formule volume cône révolution
5

Le volume d'une boule

Le volume V d'une boule de rayon R est égal à :

V = \frac{4}{3} \times \pi R^3

formule volume boule

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