La géométrie dans un triangle
Les triangles (non plats) sont définis par trois points non alignés. On peut définir des droites remarquables dans un triangle et calculer son aire. On peut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles.
Généralités
On rappelle la définition de quelques droites remarquables dans un triangle non plat : les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices.
Les hauteurs d'un triangle
Hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Les médianes d'un triangle
Médiane d'un triangle
Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Les médiatrices d'un triangle
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.
Les bissectrices d'un triangle
Bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles de même mesure.
Les triangles rectangles
Réciproquement, si la longueur de la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.
Les fonctions trigonométriques
Formule trigonométrique
Soit ABC un triangle rectangle en B. On appelle \alpha l'angle BAC. On définit les fonctions trigonométriques par les formules suivantes :
- \cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{AC}
- \sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AC}
- \tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}
On peut ainsi obtenir les formules :
AB = AC \times \cos(\alpha) \quad \text{et} \quad BC = AC \times \sin(\alpha)
Soient ABC un triangle rectangle en B et \alpha l'angle BAC. On a :
\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1
On sait que AB = AC \times \cos(\alpha) et BC = AC \times \sin(\alpha).
Or, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC^2 = AB^2 + BC^2
Ainsi :
AC^2 = (AC\times \cos(\alpha))^2 + (AC \times \sin(\alpha))^2 = AC^2 \cos^2(\alpha) + AC^2 \sin^2(\alpha)
En simplifiant tout par AC^2, on retrouve :
1 = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)
Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite
Le projeté orthogonal d'un point est une notion géométrique qui a des applications concrètes dans de nombreux domaines en science. En effet, le projeté orthogonal permet de minimiser la distance entre un point et une droite. Grâce à cette propriété, le projeté orthogonal permet de résoudre des problèmes d'optimisation.
Si M est déjà sur \Delta, alors son projeté M' est le même point que M.
Le projeté orthogonal du point M sur une droite \Delta est le point de \Delta le plus proche de M.
On donne la démonstration de cette propriété.
Soient \Delta une droite, M un point du plan, et M' le projeté de M sur la droite \Delta. Soit un point A quelconque de \Delta différent de M'. Ainsi, quel que soit A sur la droite \Delta, il faut montrer que la distance AM est plus grande que la distance M'M. Autrement dit, il faut montrer que pour tout point A du plan}, AM \geq M'M.
Si jamais M est sur la droite \Delta, alors M' et M sont les mêmes points, donc M'M = 0, et ainsi il est clair que AM est une longueur plus grande que M'M.
Si M n'est pas sur la droite \Delta, alors le triangle AMM' n'est pas plat. De plus, ce triangle est rectangle en M' et d'hypoténuse AM. D'après le théorème de Pythagore, on a donc :
AM'^2 + MM'^2 = AM^2
Ainsi, puisque AM'^2 \geq 0, on a :
AM^2 = AM'^2 + MM'^2 \geq 0 + MM'^2
On obtient :
AM^2 \geq MM'^2
Puisque AM et MM' sont des longueurs, ce sont des nombres réels positifs, donc on obtient finalement :
AM \geq MM'
C'est ce que l'on voulait démontrer.
Les quadrilatères
Il existe différents quadrilatères qui ont des propriétés particulières : le parallélogramme, le losange, le rectangle et le carré.
Le parallélogramme
Parallélogramme
Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :
- Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
- Deux des sections côtés sont parallèles et de même longueur.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
Le losange
Un parallélogramme est un losange si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :
- Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur.
- Ses diagonales sont perpendiculaires.
Les aires et les volumes
Certaines formules permettent de calculer les aires des polygones et les volumes des polyèdres les plus simples.
Les aires
L'aire du quadrilatère
L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur :
A = B \times h
L'aire d'un triangle
Un triangle possédant trois hauteurs, il existe trois calculs possibles de son aire.
