Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Déterminer la position relative de courbes de deux fonctions

Déterminer la position relative de deux courbes Cf et Cg revient à savoir sur quel(s) intervalle(s) la première est au-dessus de la seconde (et inversement). Cette question se résout par une étude de signe.

Soient les fonctions f et g définies par :

x[π;π], f(x)=2cos(x)

x[π;π], g(x)=cos(x)+12

On appelle Cf et Cg les courbes représentatives de f et de g. Déterminer la position relative de Cf et Cg.

Etape 1

Énoncer la démarche

On explique la démarche : "Pour étudier la position relative de Cf et de Cg, on étudie le signe de f(x)g(x) ".

Pour étudier la position relative de Cf et de Cg, on étudie le signe de f(x)g(x).

Etape 2

Calculer f(x)g(x)

On calcule ensuite f(x)g(x) en simplifiant le résultat au maximum, afin d'obtenir une expression dont il est facile d'étudier le signe.

On a :

x[π;π], f(x)g(x)=2cos(x)(cos(x)+12)

x[π;π], f(x)g(x)=2cos(x)cos(x)12

Donc :

x[π;π], f(x)g(x)=cos(x)12

Etape 3

Étudier le signe de f(x)g(x)

On étudie alors le signe de f(x)g(x) selon les valeurs de x. On dresse un tableau de signes si l'expression est compliquée.

Afin d'étudier le signe de f(x)g(x) sur [π;π], on résout l'équation f(x)g(x)>0. Pour tout réel x[π;π] :

f(x)g(x)>0

cos(x)12>0

cos(x)>12

Or cos(π3)=12

Donc, pour tout réel x[π;π] :

cos(x)>12

cos(x)>cos(π3)

En s'aidant du cercle trigonométrique, on en déduit que pour tous réels a et b de [π;π]

cos(x)>cos(π3)x]π3;π3[

On dresse le tableau de signes sur [π;π] :

-
Etape 4

Conclure

Finalement, on conclut en trois étapes :

  • Sur les intervalles où f(x)g(x)>0, Cf est au-dessus de Cg.
  • Sur les intervalles où f(x)g(x)<0, Cf est en dessous de Cg.
  • Lorsque f(x)g(x)=0, Cf et Cg ont un point d'intersection.

On conclut que :

  • Sur ]π3;π3[, f(x)g(x)>0, Cf est au-dessus de Cg.
  • Sur [π;π3[]π3;π], f(x)g(x)<0, Cf est en dessous de Cg.
  • f(x)g(x)=0 aux points d'abscisses x=π3 et x=π3, donc Cf et Cg ont deux points d'intersection.
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