Terminale ES 2016-2017

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Déterminer la position relative de courbes de deux fonctions

Déterminer la position relative de deux courbes \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) revient à savoir sur quel(s) intervalle(s) la première est au-dessus de la seconde (et inversement). Cette question se résout par une étude de signe.

Soient les fonctions f et g définies par :

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ - \pi ; \pi \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =2\cos \left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ - \pi ; \pi \right]}\), \(\displaystyle{g\left(x\right) = \cos \left(x\right) + \dfrac{1}{2}}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) les courbes représentatives de f et de g. Déterminer la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\).

Etape 1

Énoncer la démarche

On explique la démarche : "Pour étudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de \(\displaystyle{C_g}\), on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) - g\left(x\right) }\) ".

Pour étudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de \(\displaystyle{C_g}\), on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) - g\left(x\right) }\).

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)}\)

On calcule ensuite \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)}\) en simplifiant le résultat au maximum, afin d'obtenir une expression dont il est facile d'étudier le signe.

On a :

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ -\pi ; \pi \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) -g\left(x\right) = 2\cos \left(x\right) -\left(\cos\left( x\right) +\dfrac{1}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ -\pi ; \pi \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) -g\left(x\right) = 2\cos \left(x\right) -\cos\left( x\right) -\dfrac{1}{2}}\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ -\pi ; \pi \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) -g\left(x\right) = \cos \left(x\right) -\dfrac{1}{2}}\)

Etape 3

Étudier le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)}\)

On étudie alors le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)}\) selon les valeurs de x. On dresse un tableau de signes si l'expression est compliquée.

Afin d'étudier le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{\left[- \pi ; \pi\right]}\), on résout l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right) \gt 0}\). Pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[ -\pi;\pi \right]}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right) \gt 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \cos \left(x\right) - \dfrac{1}{2} \gt 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \cos \left(x\right) \gt \dfrac{1}{2} }\)

Or \(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)= \dfrac{1}{2}}\)

Donc, pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[ -\pi;\pi \right]}\) :

\(\displaystyle{\cos \left(x\right) \gt \dfrac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \cos \left(x\right) \gt \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \right)}\)

En s'aidant du cercle trigonométrique, on en déduit que pour tous réels a et b de \(\displaystyle{\left[ -\pi;\pi \right]}\)

\(\displaystyle{\cos \left(x\right) \gt \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x \in \left] -\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{3} \right[}\)

On dresse le tableau de signes sur \(\displaystyle{\left[- \pi ; \pi\right]}\) :

-
Etape 4

Conclure

Finalement, on conclut en trois étapes :

  • Sur les intervalles où \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\gt 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de \(\displaystyle{C_g}\).
  • Sur les intervalles où \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\lt 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de \(\displaystyle{C_g}\).
  • Lorsque \(\displaystyle{f\left(x\right) -g\left(x\right) = 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) ont un point d'intersection.

On conclut que :

  • Sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right[ }\), \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\gt 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de \(\displaystyle{C_g}\).
  • Sur \(\displaystyle{\left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{3} \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{3};\pi \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\lt 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de \(\displaystyle{C_g}\).
  • \(\displaystyle{f\left(x\right) -g\left(x\right) = 0}\) aux points d'abscisses \(\displaystyle{x = -\dfrac{\pi}{3}}\) et \(\displaystyle{x = \dfrac{\pi}{3}}\), donc \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) ont deux points d'intersection.