Terminale S 2016-2017

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Déterminer les points d'intersection de deux courbes

On cherche les points d'intersection de deux courbes représentatives \(\displaystyle{C_{f}}\) et \(\displaystyle{C_{g}}\), c'est-à-dire l'ensemble des points du plan de coordonnées \(\displaystyle{\left( x,f\left( x \right) \right)}\) dont l'abscisse x vérifie \(\displaystyle{f\left( x \right)=g\left( x \right)}\).

Soient f et g les deux fonctions définies sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=x^3+x^2+x+1}\)

\(\displaystyle{g\left( x \right)=x^3-x}\)

Déterminer les points d'intersection des courbes représentatives \(\displaystyle{C_{f}}\) et \(\displaystyle{C_{g}}\).

Etape 1

Énoncer la démarche

Avant de commencer la résolution, on énonce la démarche :

"Les abscisses des points d'intersection de \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) sont les solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=g\left(x\right)}\)."

Les abscisses des points d'intersection de \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) sont les solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=g\left(x\right)}\). On résout donc cette équation.

Etape 2

Résoudre l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=g\left(x\right)}\)

On résout tout d'abord l'équation \(\displaystyle{f\left( x \right)=g\left( x \right)}\). Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes \(\displaystyle{C_{f}}\) et \(\displaystyle{C_{g}}\).

On résout :

Pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left( x \right)=g\left( x \right)}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=x^3-x }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x^2+2x+1=0}\)

Or, on sait que pour tous réels a et b :

\(\displaystyle{a^2+2ab+b^2=\left( a+b \right)^2}\)

On a donc, pour tout réel x :

\(\displaystyle{ x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow \left( x+1 \right)^2=0}\)

\(\displaystyle{a^2}\) étant nul si et seulement si \(\displaystyle{a=0}\), on a alors :

\(\displaystyle{ \left( x+1 \right)^2=0\Leftrightarrow x+1 =0 \Leftrightarrow x=-1}\)

L'équation \(\displaystyle{f\left( x \right)=g\left( x \right)}\) admet donc \(\displaystyle{x=-1}\) pour seule solution.

Etape 3

Calculer l'image de chaque solution

Pour chaque solution x de l'équation précédente, on détermine la valeur de \(\displaystyle{f\left(x \right)}\) (ou celle de \(\displaystyle{g\left(x \right)}\) car \(\displaystyle{g\left(x \right)=f\left(x \right)}\) ). Cela donne l'ordonnée du point d'intersection de \(\displaystyle{C_{f}}\) et \(\displaystyle{C_{g}}\) d'abscisse x.

−1 est la seule solution de l'équation \(\displaystyle{f\left( x \right)=g\left( x \right)}\). On a :

\(\displaystyle{f\left( -1 \right)=\left( -1 \right)^3+\left( -1 \right)^2+\left( -1 \right)+1=-1+1-1+1}\)

Finalement :

\(\displaystyle{f\left( -1 \right)=0}\)

Etape 4

En déduire les coordonnées des points d'intersection

Les coordonnées trouvées grâce aux deux étapes précédentes sont donc les coordonnées des points d'intersection des courbes \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\).

On peut conclure que le seul point d'intersection des courbes \(\displaystyle{C_{f}}\) et \(\displaystyle{C_{g}}\) est le point de coordonnées \(\displaystyle{\left( -1,0 \right)}\).