Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Etudier la parité d'une fonction

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut déterminer la parité d'une fonction par le calcul.

On considère la fonction f définie par :

x, f(x)=cos(2x)

Montrer que f est paire.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle les conditions de parité selon le cas recherché.

f est paire si et seulement si :

  • Son domaine de définition I est centré en 0
  • xI,f(x)=f(x)

En revanche, f est impaire si et seulement si :

  • Son domaine de définition I est centré en 0
  • xI,f(x)=f(x)

On sait que f est paire si et seulement si :

  • Son domaine de définition I est centré en 0
  • xI,f(x)=f(x)
Etape 2

Vérifier que le domaine de définition est centré en 0

On détermine l'ensemble de définition I ou on le rappelle s'il est donné dans l'énoncé. On vérifie que I est centré en 0.

Ici, la fonction f est définie sur , l'ensemble de définition est donc centré en 0.

Etape 3

Exprimer f(x) en fonction de f(x)

On calcule f(x). On simplifie le résultat dans le but de l'exprimer en fonction de f(x).

Pour tout réel x, on a :

f(x)=cos(2x)

Or, on sait que pour tout réel X :

cos(X)=cos(X)

D'où, pour tout réel x :

f(x)=cos(2x)

Par conséquent, pour tout réel x :

f(x)=f(x)

Etape 4

Conclure

  • Si, pour tout réel x du domaine de définition, f(x)=f(x) alors la fonction est paire.
  • Si, pour tout réel x du domaine de définition, f(x)=f(x) alors la fonction est impaire.
  • Sinon la fonction n'est ni paire ni impaire.

On en conclut que la fonction f est paire.

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