Terminale S 2016-2017

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Montrer qu'un point M appartient à la courbe représentative d'une fonction

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\), la courbe représentative d'une fonction f, si et seulement si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\).

On considère une fonction f, définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \cos\left(x\right)\sin\left(x\right)}\)

Démontrer que le point \(\displaystyle{A\left( \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{1}{2}\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\), la courbe représentative de f.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\) si et seulement si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\).

Le point A appartient à \(\displaystyle{C_f}\) si et seulement si \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}}\).

Etape 2

Vérifier que \(\displaystyle{x\in D_f}\) et calculer \(\displaystyle{f\left(x\right)}\)

On vérifie que \(\displaystyle{x\in D_f}\) et on calcule \(\displaystyle{f\left(x\right)}\).

\(\displaystyle{D_f=\mathbb{R}}\), donc \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}\in D_f}\).

On calcule \(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\) :

\(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\)

\(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2} \times \dfrac{\sqrt 2}{2}}\)

\(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\left(\sqrt 2\right)^2}{4} }\)

\(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2} }\)

Etape 3

Conclure

  • Si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\), on en déduit que le point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\).
  • Si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) \neq y}\), on en déduit que le point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) n'appartient pas à \(\displaystyle{C_f}\).
  • Si \(\displaystyle{x\notin D_f}\), on en déduit que le point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) n'appartient pas à \(\displaystyle{C_f}\).

On a bien \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2} }\).

On en déduit que le point \(\displaystyle{A\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{1}{2}\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\).