On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^2-x+3
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=3x+1 ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc à déterminer les tangentes à C_f de coefficient directeur 3.
Or le coefficient directeur de la tangente à C_f à un point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) vaut f'\left(a\right).
On doit donc résoudre l'équation f'\left(x\right)=3.
Or, pour tout réel x, on a :
f'\left(x\right)=4x-1
Ainsi, on résout :
f'\left(x\right)=3
\Leftrightarrow 4x-1=3
\Leftrightarrow 4x=4
\Leftrightarrow x=1
Finalement, la seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=3x+1 est la tangente au point d'abscisse 1.
Cette tangente a pour équation :
y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
Avec :
- f'\left(1\right)=4-1=3
- f\left(1\right)=2-1+3=4
y=3\left(x-1\right)+4
y=3x+1
La seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=3x+1 est la tangente au point d'abscisse 1, elle a pour équation y=3x+1.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3+2x
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=2x ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc à déterminer les tangentes à C_f de coefficient directeur 2.
Or le coefficient directeur de la tangente à C_f à un point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) vaut f'\left(a\right).
On doit donc résoudre l'équation f'\left(x\right)=2.
Or, pour tout réel x, on a :
f'\left(x\right)=3x^2+2
Ainsi, on résout :
f'\left(x\right)=2
\Leftrightarrow 3x^2+2=2
\Leftrightarrow 3x^2=0
\Leftrightarrow x=0
Finalement, la seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=2x est la tangente au point d'abscisse 0.
Cette tangente a pour équation :
y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
Avec :
- f'\left(0\right)=2
- f\left(0\right)=0+0=0
y=2\left(x-0\right)+0
y=2x
La seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=2x est la tangente au point d'abscisse 0, elle a pour équation y=2x.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-4x^2+x-3
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f de coefficient directeur 4 ?
Le coefficient directeur de la tangente à C_f à un point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) vaut f'\left(a\right).
On doit donc résoudre l'équation f'\left(x\right)=4.
Or, pour tout réel x, on a :
f'\left(x\right)=-8x+1
Ainsi, on résout :
f'\left(x\right)=4
\Leftrightarrow -8x+1=4
\Leftrightarrow -8x=3\\
\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{8}
Finalement, la seule tangente à C_f de coefficient directeur 4 est la tangente au point d'abscisse - \dfrac{3}{8}.
Cette tangente a pour équation :
y=f'\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(x+\dfrac{3}{8}\right)+f\left(-\dfrac{3}{8}\right)
Avec :
- f'\left(-\dfrac{3}{8}\right)=-8\times-\dfrac{3}{8}+1=3+1=4
- f\left(-\dfrac{3}{8}\right)=-4\times\left(-\dfrac{3}{8}\right)^2-\dfrac{3}{8}-3=-4\times\dfrac{9}{64}-\dfrac{3}{8}-3=-\dfrac{9}{16}-\dfrac{6}{16}-\dfrac{48}{16}=-\dfrac{63}{16}
y=4\left(x+\dfrac{3}{8}\right)-\dfrac{63}{16}
y=4x+\dfrac{12}{8}-\dfrac{63}{16}=4x+\dfrac{24}{16}-\dfrac{63}{16}=4x-\dfrac{39}{16}
La seule tangente à C_f de coefficient directeur 4 est la tangente au point d'abscisse - \dfrac{3}{8}, elle a pour équation y=4x-\dfrac{39}{16}.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=5x^2+3
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=4x+1 ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc à déterminer les tangentes à C_f de coefficient directeur 4.
Or le coefficient directeur de la tangente à C_f à un point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) vaut f'\left(a\right).
On doit donc résoudre l'équation f'\left(x\right)=4.
Or, pour tout réel x, on a :
f'\left(x\right)=10x
Ainsi, on résout :
f'\left(x\right)=4
\Leftrightarrow 10x=4
\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{10}
\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{5}
Finalement, la seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=4x+1 est la tangente au point d'abscisse \dfrac{2}{5}.
Cette tangente a pour équation :
y=f'\left(\dfrac{2}{5}\right)\left(x-\dfrac{2}{5}\right)+f\left(\dfrac{2}{5}\right)
Avec :
- f'\left(\dfrac{2}{5}\right)=10\times\dfrac{2}{5}=4
- f\left(\dfrac{2}{5}\right)=5\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^2+3=5\times\dfrac{4}{25}+3=\dfrac{4}{5}+\dfrac{15}{5}=\dfrac{19}{5}
y=4\left(x-\dfrac{2}{5}\right)+\dfrac{19}{5}
y=4x-\dfrac{8}{5}+\dfrac{19}{5}
y=4x+\dfrac{11}{5}
La seule tangente à C_f parallèle à la droite d'équation y=4x+1 est la tangente au point d'abscisse \dfrac{2}{5}, elle a pour équation y=4x+\dfrac{11}{5}.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2-3x+1
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f passant par le point A\left(2;1\right) ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)=x^2-3x+1.
La tangente T_a à C_f au point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) a pour équation :
y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Ici, on cherche a tel que T_a passe par A\left(2;1\right).
On doit donc avoir :
1=f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)
Or on a :
- f\left(a\right)=a^2-3a+1
- f'\left(a\right)=2a-3
1=f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)
\Leftrightarrow1=\left(2a-3\right)\left(2-a\right)+a^2-3a+1
\Leftrightarrow1=4a-2a^2-6+3a+a^2-3a+1
\Leftrightarrow0=-a^2+4a-6
On cherche les racines du trinôme du second degré :
\Delta=b^2-4ac=16-24=-8
\Delta\lt0 donc l'équation n'a pas de solution réelle.
Donc C_f n'a pas de tangente qui passe par le point A\left(2;1\right).
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=3x^2+2x-1
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelles sont les tangentes à C_f passant par le point A\left(0;-4\right) ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)=3x^2+2x-1.
La tangente T_a à C_f au point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) a pour équation :
y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Ici, on cherche a tel que T_a passe par A\left(0;-4\right).
On doit donc avoir :
-4=f'\left(a\right)\left(0-a\right)+f\left(a\right)
Or on a :
- f\left(a\right)=3a^2+2a-1
- f'\left(a\right)=6a+2
-4=f'\left(a\right)\left(0-a\right)+f\left(a\right)
\Leftrightarrow-4=\left(6a+2\right)\left(-a\right)+3a^2+2a-1
\Leftrightarrow-4=-6a^2-2a+3a^2+2a-1
\Leftrightarrow-4=-3a^2-1
\Leftrightarrow-3=-3a^2
\Leftrightarrow a^2=1
\Leftrightarrow a=1 ou a=-1
Donc les deux tangentes à C_f qui passent par le point A\left(0;-4\right) sont les tangentes aux points d'abscisses -1 et 1.
La première tangente a pour équation :
y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
Avec :
- f'\left(-1\right)=6\times\left(-1\right)+2=-6+2=-4
- f\left(-1\right)=3\times \left(-1\right)^2+2\times \left(-1\right)-1=0
y=-4\times\left(x+1\right)+0=-4x-4
La deuxième tangente a pour équation :
y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
Avec :
- f'\left(1\right)=6\times1+2=6+2=8
- f\left(1\right)=3\times 1^2+2\times 1-1=3+2-1=4
y=8\times\left(x-1\right)+4=8x-8+4=8x-4
Les deux tangentes à C_f passant par le point A\left(0;-4\right) sont :
- La tangente au point d'abscisse -1 qui a pour équation y=-4x-4.
- La tangente au point d'abscisse 1 qui a pour équation y=8x-4.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2+x
On appelle C_f sa courbe représentative.
Quelle est la tangente à C_f passant par le point A\left(0;0\right) ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)=x^2+x.
La tangente T_a à C_f au point d'abscisse a (a\in\mathbb{R}) a pour équation :
y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Ici, on cherche a tel que T_a passe par A\left(0;0\right).
On doit donc avoir :
0=f'\left(a\right)\left(0-a\right)+f\left(a\right)
Or on a :
- f\left(a\right)=a^2+a
- f'\left(a\right)=2a+1
0=f'\left(a\right)\left(0-a\right)+f\left(a\right)
\Leftrightarrow0=\left(2a+1\right)\left(-a\right)+a^2+a
\Leftrightarrow0=-2a^2-a+a^2+a
\Leftrightarrow0=-a^2
\Leftrightarrow0=a
Donc la seule tangente à C_f qui passe par le point A\left(0;0\right) est la tangente au point d'abscisse 0.
Cette tangente a pour équation :
y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
Avec :
- f'\left(0\right)=2\times0+1=1
- f\left(0\right)=0^2+0=0
y=1\times x+0=x
La seule tangente à C_f passant par le point A\left(0;0\right) est la tangente au point d'abscisse 0, elle a pour équation y=x.