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Etablir la loi d'une variable aléatoire discrète quelconque

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète X se présente généralement sous forme de tableau. Elle donne les valeurs possibles prises par X et les probabilités associées à ces valeurs.

Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces :

  • S'il obtient 1 ou 2, il ne gagne rien.
  • S'il obtient 3, il gagne 2 euros.
  • S'il obtient 4, 5 ou 6, il gagne 4 euros.

On note X la variable aléatoire égale à la somme gagnée par le joueur en un lancer. Déterminer la loi de X et la donner sous forme de tableau.

Etape 1

Déterminer les valeurs que peut prendre X

Déterminer grâce à l'énoncé les valeurs possibles prises par X. Cela s'accompagne d'un raisonnement du type : "si l'événement A est réalisé, alors X prend la valeur k".

Cela permet notamment de déterminer les événements correspondant à chaque valeur prise par X.

D'après l'énoncé, les seules valeurs possibles prises par X sont 0, 2 et 4 et :

  • X prend la valeur 0 si le joueur obtient 1 ou 2 avec le dé.
  • X prend la valeur 2 si le joueur obtient 3 avec le dé.
  • X prend la valeur 4 si le joueur obtient 4, 5 ou 6 avec le dé.
Etape 2

Calculer les probabilités associées

Pour chaque valeur possible de X notée k, on calcule \(\displaystyle{p\left(X=k\right)}\). Parfois, ces probabilités ont déjà été calculées dans les questions précédentes de l'exercice.

Toutes les faces du dé ayant la même probabilité d'être obtenues, on a :

  • \(\displaystyle{p\left(X=0\right)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}}\)
  • \(\displaystyle{p\left(X=2\right)=\dfrac{1}{6}}\)
  • \(\displaystyle{p\left(X=4\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}}\)
Etape 3

Écrire la loi sous forme de tableau

On récapitule les résultats sous la forme d'un tableau du type :

\(\displaystyle{x_i}\)
\(\displaystyle{p\left(X=x_i\right)}\)

La somme des éléments de la deuxième ligne de ce tableau doit valoir 1. Cela permet de s'assurer de la cohérence des résultats.

On peut maintenant écrire la loi de X sous forme de tableau :

\(\displaystyle{x_i}\) 0 2 4
\(\displaystyle{p\left(X=x_i\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{3}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{6}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\)

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