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Etudier la parité d'une fonction

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut déterminer la parité d'une fonction par le calcul.

On considère la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =\cos \left(2x\right)}\)

Montrer que f est paire.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle les conditions de parité selon le cas recherché.

f est paire si et seulement si :

  • Son domaine de définition I est centré en 0
  • \(\displaystyle{\forall x \in I, f\left(-x\right)=f\left(x\right)}\)

En revanche, f est impaire si et seulement si :

  • Son domaine de définition I est centré en 0
  • \(\displaystyle{\forall x \in I, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}\)

On sait que f est paire si et seulement si :

  • Son domaine de définition I est centré en 0
  • \(\displaystyle{\forall x \in I, f\left(-x\right)=f\left(x\right)}\)
Etape 2

Vérifier que le domaine de définition est centré en 0

On détermine l'ensemble de définition I ou on le rappelle s'il est donné dans l'énoncé. On vérifie que I est centré en 0.

Ici, la fonction f est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), l'ensemble de définition est donc centré en 0.

Etape 3

Exprimer \(\displaystyle{f\left(-x\right)}\) en fonction de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\)

On calcule \(\displaystyle{f\left(-x\right)}\). On simplifie le résultat dans le but de l'exprimer en fonction de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\).

Pour tout réel x, on a :

\(\displaystyle{f\left(-x\right) =\cos \left(-2x\right)}\)

Or, on sait que pour tout réel X :

\(\displaystyle{\cos \left(X\right) = \cos \left(-X\right)}\)

D'où, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(-x\right) =\cos \left(2x\right)}\)

Par conséquent, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(-x\right) =f\left(x\right)}\)

Etape 4

Conclure

  • Si, pour tout réel x du domaine de définition, \(\displaystyle{f\left(-x\right) = f\left(x\right) }\) alors la fonction est paire.
  • Si, pour tout réel x du domaine de définition, \(\displaystyle{f\left(-x\right) =- f\left(x\right) }\) alors la fonction est impaire.
  • Sinon la fonction n'est ni paire ni impaire.

On en conclut que la fonction f est paire.

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