Le maire d'une ville affirme que 52% des électeurs lui font confiance. On interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise).
On considère la variable aléatoire X associée au nombre d'électeurs faisant confiance au maire. X suit la loi binomiale de paramètre n=100 et p=0{,}52.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 40 | 0,0106 |
| 41 | 0,0177 |
| 42 | 0,0286 |
| 43 | 0,0444 |
| ... | ... |
| 61 | 0,9719 |
| 62 | 0,9827 |
| 63 | 0,9897 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant 41\right)\approx0{,}177 \leqslant 0{,}025
- p\left(X\leqslant 42\right)\approx0{,}286 \gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 42
a=42
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 61\right)\approx0{,}9\ 719 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 62\right)\approx0{,}9\ 827 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 62
b=62
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=42
- b=62
- n=100
D'où, l'intervalle de fluctuation est l
\left[\dfrac{42}{100};\dfrac{62}{100}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0{,}42;0{,}62 \right].