Dans une usine, on contrôle les défauts de fabrication de boutons. Sur un contrôle de 300 sacs, on constate que 5% des sacs présentent un défaut.
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de sacs présentant un défaut. X suit la loi binomiale de paramètre n=300 et p=0{,}05.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 7 | 0,016 |
| 8 | 0,0341 |
| 9 | 0,065 |
| ... | ... |
| 21 | 0,9514 |
| 22 | 0,9708 |
| 23 | 0,9832 |
| 24 | 0,9907 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant7\right)\approx0{,}016 \lt 0{,}025
- p\left(X\leqslant 8\right)\approx0{,}0341\gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 8.
a=8
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 22\right)\approx0{,}9\ 708 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 23\right)\approx0{,}9\ 832 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 23.
b=23
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=8
- b=23
- n=300
D'où, l'intervalle de fluctuation est :
\left[\dfrac{8}{300};\dfrac{23}{300}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0{,}027;0{,}077 \right].