On lance 100 fois une pièce équilibrée.
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de "piles" obtenus. X suit la loi binomiale de paramètre n=100 et p=0{,}5.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 38 | 0,0105 |
| 39 | 0,0176 |
| 40 | 0,0284 |
| 41 | 0,0443 |
| ... | ... |
| 59 | 0,9716 |
| 60 | 0,9824 |
| 61 | 0,9895 |
| 62 | 0,994 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant39\right)\approx0{,}0176 \lt 0{,}025
- p\left(X\leqslant 40\right)\approx0{,}0284 \gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 40.
a=40
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 59\right)\approx0{,}9\ 716 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 60\right)\approx0{,}9\ 824 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 60.
b=60
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=40
- b=60
- n=100
D'où, l'intervalle de fluctuation est :
\left[\dfrac{40}{100};\dfrac{60}{100}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0{,}4;0{,}6\right].