Une usine produit des pièces. Sur 50 pièces, on constate que 4% sont défectueuses..
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de pièces défectueuses. X suit la loi binomiale de paramètre n=50 et p=0{,}04.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 0 | 0,1299 |
| 1 | 0,4005 |
| 2 | 0,6767 |
| 3 | 0,8609 |
| 4 | 0,9510 |
| 5 | 0,9856 |
| 6 | 0,9964 |
| 7 | 0,9992 |
| 8 | 0,9999 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant 0\right)\approx0{,}1\ 299 \gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 0.
a=0
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 4\right)\approx0{,}9\ 510 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 5\right)\approx0{,}9\ 856 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 5.
b=5
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=0
- b=5
- n=50
D'où, l'intervalle de fluctuation est :
\left[\dfrac{0}{50};\dfrac{5}{50}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0 ; 0{,}1 \right].